常用组合恒等式

约定

以下的 \(n, k\) 都是整数。

\[\forall n\geq 0,\dbinom{n}{0}=1 \]

\[\forall n<k, \dbinom{n}{k}=0 \]

\[\forall k<0, \dbinom{n}{k}=0 \]

基础恒等式

对称性:\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\)。
递推式:\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}\)。
以上恒等式易于由组合意义得出。

关于和的恒等式

\[\sum_{i=0}^k\dbinom{n+i}{i}=\dbinom{n+k+1}{k} \]

从左侧开始反复使用递推式可证。

\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}=2^n \]

组合意义显然。

\[\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}=0 \]

设 \(S=\{1, 2, ......, n\}\)，该组合恒等式相当于说从 \(S\) 中选出奇数个数的方案等于选出偶数个数的方案。考虑将包含 \(1\) 的集合和不包含 \(1\) 的集合建立双射即可证。

\[\sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k} \]

这就是Vandermonde恒等式，使用组合意义显然。

单项变换

\[\dbinom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1} \]

推论:\(k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}\)。

\[\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{m}=\dbinom{n}{m}\dbinom{n-m}{k-m} \]

利用组合数的定义容易证明上面这两个恒等式。