莫比乌斯反演，欧拉反演以及莫比乌斯-欧拉转化公式

莫比乌斯反演

核心公式:\(\mu*1 = \varepsilon\) 即 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。

证明：\(n>1\) 时，从 \(n\) 的所有素因数中选出奇数个的方案和选出偶数个的方案相等，\(-1\) 和 \(1\) 抵消。\(n=1\) 时显然。

常用于如下化简 \([a_1, a_2, ......, a_n \text{互素}]=\sum_{\forall i, d|a_i}\mu(d)\)。

欧拉反演

核心公式：\(\phi*1=\text{id}\) 即 \(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)。

证明：\(\sum_{d|n}\phi(d)=\sum_{d|n}\phi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}(\text{和}n\text{的最大公约数为}d\text{的数的个数})=n\)

常用于如下化简 \(\gcd_{i=1}^na_i=\sum_{\forall i, d|a_i}\phi(d)\)。

莫比乌斯-欧拉转化公式

核心公式：\(\mu*\text{id}=\phi\) 即 \(\sum_{d|n}\frac{n}{d}\mu(d)=\phi(n)\)。

证明：\(\phi(n)=\sum_{i=1}^{n}[i, n\text{互素}]=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n, d|i}\mu(d)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\)。

用处是让欧拉函数和莫比乌斯函数进行互换，从而在欧拉反演做不了时转为莫比乌斯反演。（反之亦然）