2026 dmy 模拟赛

第一场

• A

错因分析：没有从式子中最难的部分入手，导致完全没思路。

正解：

1. 考虑去掉题目中的 \(\min\)，想到从小到大枚举数值构造 \(p\)，这样每次填入的第一个数就是最小值。

2. 因为要求所有方案的权值和，考虑 dp。发现状态并不明显，所以先推转移。

3. 分情况讨论：如果当前的数值填入以前的段，则它的贡献就是这个段的空位乘上 dp 值；如果当前的数值填入新的段，则它的贡献就是空余区间个数乘以空余区间长度乘以它自身的值。

4. 不难发现这两个转移式子都和区间具体位置无关，只和区间有效长度有关。所以我们可以使用混合进制的方法来压缩状态。具体而言，我们将所有同样长度的区间归为一类，然后记录每个长度的剩余区间即可，具体见代码。

总结：

1. 观察：从最难处入手

2. dp：见权值和想 dp、从转移推状态、混合进制压缩技巧

• B

错因分析：不知道最短路图。

正解：建出最短路图后跑 dfs，按照编号从小到大访问出边并维护编号之和，如果第二次访问到某个点，说明它存在两条最短路，这时的编号之和即为这个点的答案。

总结：最短路计数相关——建最短路图。

• C

错因分析：没有对式子和单调性的敏感度。

正解：

1. 观察到权值的式子很像方差，展开后我们发现它正好是 \(m\) 倍方差，即 \(m \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\)。

2. 考虑方差的结论：当 \(t\) 取平均数时，\(\sum (y_i-t)^2\)（即方差的 \(m\) 倍）取得最小值。所以问题转化为考虑在 \(t\) 的移动过程中，求 \(\sum (y_i-t)^2\) 的最小值。

3. 这个 \((y_i-t)^2\) 显然就是在考查 \(y_i\) 与 \(t\) 的距离。当 \(t\) 向右移动时，选取的 \(m\) 个点显然也会向右移动，这明显具有单调性。进一步的，我们发现每个点都具有一段“存活区间”（考虑一个点的同色前驱和后继，当 \(t\) 移动的足够左，至少它的前驱会替代它，后继同理，所以是一段区间）。

4. 如果我们能够求出存活区间，就可以像单调队列那样子，考虑每一个区间，然后在左端点加入某些点，在右端点删除某些点，然后动态的维护 \(\sum y_i\) 和 \(\sum y_i^2\) 即可。

5. 考虑如何求出存活区间。首先我们发现 \(l_i,r_i\) 可以对称求取，所以下面只讲述 \(l_i\) 的求法。对于点 \(i\)，记它的同色前驱为 \(p\)，显然 \(l_i \ge \frac{x_p+x_i}{2}\)（不然 \(p\) 可以替代 \(i\)）；然后记 \(i\) 前面距离 \(i\) 第 \(m\) 近的点为 \(q\)，显然 \(l_i \ge \frac{x_q+x_i}{2}\)，这两者取 \(\max\) 就是左边界。其中 \(q\) 可以使用堆来维护。

6. 求出存活区间之后，我们按照第四步的流程做即可。实现上的细节很多，包括但不限于删除标记、维护有效点个数、先加入后删除（因为要统计到所有最小值）等细节，具体见代码。

总结：

1. 观察：方差结论、单调性区间。

2. 代码：单调队列思想、堆维护 \(m\) 大的代码实现技巧。

• D

待补。