SOS DP

SOS DP

简介

全称 Sum Over Subset DP，用于在 \(O(2^n \times n)\) 的复杂度内解决子集和问题。

算法原理

定义 \(dp_{k,mask}\) 表示只考虑二进制下从低到高前 \(k\) 位时，\(mask\) 的所有子集权值之和。

转移分类讨论：

• \(mask\) 第 \(k\) 位为 \(0\)，子集第 \(k\) 位也只能是 \(0\)，显然直接继承，\(dp_{k+1,mask}=dp_{k,mask}\)。

• \(mask\) 第 \(k\) 位为 \(1\)，子集第 \(k\) 位可选或不选，有转移：\(dp_{k+1,mask}=dp_{k,mask}+dp_{k,mask \oplus 2^k}\)

答案是 \(\sum dp_{n,mask}\)，初始 \(dp_{0,mask}=a_i\)。这个显然可以滚动掉一维。

例题

• CF165E（转化为子集问题）

我们发现，若两个元素的按位与之后为 \(0\)，则它们的 \(1\) 和 \(0\) 必须错开。

考虑对于其中一个取反，则它必须是另一个的子集。

直接 SOS dp，每次 \(dp_{mask}\) 继承 \(dp_{mask \oplus 2^i}\) 即可，初始 \(dp_{a_i}=a_i\)，答案为 \(dp_{(2^n-1) \oplus a_i}\)。

• ARC100C（SOS dp 维护最值、约束条件的转化）

这个 \(\le\) 不好考虑，转化为 \(=\)。设 \(dp_{k}\) 表示按位或恰好为 \(k\) 的最大值。

显然若 \(i \operatorname{or} j=k\)，则 \(i,j\) 都是 \(k\) 的子集，直接 SOS dp 转移。

如何转回 \(\le\)？询问时维护前缀最大值即可。

• CF449D（容斥原理、反演思想）

不难发现若要使得 \(a_{i_k}\) 按位与之后要为 \(0\)，则 \(a_{i_k}\) 某一位上不能全为 \(1\)。

这个约束可以进行转化，我们发现超集（包含某个集合的集合）是一个更宽松的限制，考虑对超集进行 dp。

与 SOS dp 类似的，我们考虑设计 \(dp_{mask}\) 为 \(mask\) 的超集的组数，但这个东西并不好转移。

进一步观察，我们发现只有包含 \(mask\) 中所有 \(1\) 的 \(a_i\) 才能参与超集（超集也是由 \(a_i\) 组成的），于是设计辅助状态 \(cnt_{mask}\) 表示包含 \(mask\) 所有 \(1\) 的 \(a_i\) 个数，显然有 \(dp_{mask} = 2^{cnt_{mask}}-1\)（每个 \(a_i\) 可以选或者不选，不能为空）。

这个东西显然 \(mask\) 中的 \(1\) 越少，\(cnt\) 就越大，考虑从大到小转移，有 \(dp_{mask} \leftarrow dp_{mask \operatorname{or} 2^i}\)。

以上这部分是超集和 dp 的一般思路。

答案如何求？显然我们需要 \(dp_{0 \sim 2^{m}-1}\) 的并集（不全为 \(1\)），于是容斥一下即可，每一项乘上对应的容斥系数。

• CF1234F（观察性质）

不难观察到两个性质：

1. 字符集大小仅为 \(20\)，表明答案不超过 \(20\)

2. 两个满足题意的子串不会重叠

这样问题转化为求取合法的字符集，考虑 SOS dp。

考虑枚举每个结尾的位置然后向前寻找最大的合法子串来记录 dp 初始状态，转移就是维护最大值，最后枚举合法状态并求出其子集，两个答案进行拼接取 \(\max\) 即为答案。

• ABC349F（从特殊入手、观察性质）

我们先考虑特殊情况，对于 \(a_i \nmid M\)，显然 \(lcm\) 不会等于 \(M\)，可以舍弃。

进一步的，想到了整除，显然我们可以将 \(M\) 质因数分解。对于质因子 \(q_j ^{c_j}\)，\(a_i\) 必须被它整除才能使 \(lcm\) 等于 \(M\)，这个似乎可以用二进制状态表示。由于 \(13\) 个不同质因子相乘就已经达到 \(10^{16}\) 了，这印证了我们的想法。

有了这个思考，我们考虑向 SOS dp 转化。我们发现 \(\operatorname{lcm}\{a_i\}=M\)，等价于 \(a_i\) 的二进制状态按位与之后得到全集。我们成功将此题转化为了 SOS dp，直接设计辅助状态 \(cnt\) 然后 dp 求取，最后子集反演即可得到答案。

• Codechef-covering（正变换与逆变换的结合）

首先我们要求的就是 $$\sum_{X} \sum_{X \subset A,B,C} F_A G_B H_C$$

交换求和顺序得 $$\sum_{A,B,C} F_A G_B H_C \sum_{X \subset A,B,C} 1 $$

后面的部分化简得 $$\sum_{A,B,C} F_A G_B H_C 2^{\mid A \cup B \cup C \mid}$$

这个东西不好直接求，考虑反演。

令 \(F'_{S} = \sum_{A \subset S} F_{A},G'_{S} = \sum_{B \subset S} G_{B},H'_{S} = \sum_{C \subset S} H_{C}\)，这个可以正向 SOS dp 求得。

令 \(W_{S} = F'_{S} G'_{S} H'_{S}\)，再做一遍逆向的 SOS dp 即可得到原答案。

总结

• 可以使用位运算对题目进行初步转化

• 直接做不好做时，考虑放宽约束然后容斥解决。

• 也可以使用反演（正变换与逆变换结合）来简化问题。