树形 dp 总结 2

P6419（树的中心 dp 套路）

不难发现，司机总是进入一个子树然后原路返回，最后一个子树除外。

对于这种问题，我们不难想到树的中心的类似套路，维护 \(down_i,up_i,len1_i,len2_i\) 表示向子树内走的最少时间/子树外的最少时间/子树内的最长链/子树内的次长链。转移是套路的，注意特判子树内和子树外没人的情况即可。

QOJ 10268（树的直径性质）

看到这个 \(\max\)，引导我们向树的直径思考。

我们也可以定义一个点集 \(S\) 的“直径”为 \(A_i\)，既然题目要求 \(A_i\) 不同的方案数，不妨考虑什么唯一决定了 \(A_i\)。

我们知道，当直径长度为偶数时，中心有且仅有一个；当直径长度为奇数时，中心有两个且相邻。我们不妨把第二种情形的“中心”看作连接两个中心的那条边。设半径（字面意思，直径的一半）为 \(r\)，“中心”为 \(c\)，易知 \(A_i=dis_{c,i}+r\)，这表明 \(c,r\) 唯一决定了 \(A_i\)（尽管可能存在 \(c_i \neq c_j,r_i \neq r_j\) 使得 \(A_i = A_j\)，但我们只需要整个数组有一处不同就算不同）。

这样，问题转化为求 \(c,r\) 的方案数，考虑固定 \(c\) 计算 \(r\) 的方案然后求和。不难发现 \(r\) 最大可以取到子树内的次长链（如果最长的话另一半就没有了，次长链可以取出最长链的一部分来组成直径），所以这就可以再次使用上一题的 dp 思路去做了。

别看我几段话就讲完了，这里面的三个转化还是很精妙的。

CF916E（抓住不变量）

全场最简单的。

如果没有操作一显然线段树维护 dfn 序列即可。

手玩一下可以发现换根完了之后有些节点的子树不发生变化，具体而言，他们是新根在原树上的非祖先。

这样我们可以进行讨论：

• 对于 \(u=root\)，显然对整棵树操作即可。

• 对于 \(u\) 不是 \(root\) 的祖先，则按原树操作即可。

• 对于 \(u\) 是 \(root\) 的祖先，显然我们发现只有 \(u\) 和 \(u\) 上边的节点成为了 \(u\) 的子树，然而 \(son_u\) 下面的部分是一段连续区间，所以我们直接将 \([1,n]\) 砍掉 \([son_u,son_u+siz_{son_u}-1]\)，对这两段区间操作即可。

是不是做完了？并非。还有一个问题是如何求出 lca，感性猜测一下可以发现，对于 \(u,v\)，\(lca'(u,v)\) 为 \(lca(u,v),lca(u,rt),lca(v,rt)\) 中深度最大的那个（\(lca\) 是原树上，\(lca'\) 是新树上），这个感受一下或者你分类讨论证明都行，应该很好理解。

然后我们解决了这个 *2400，实现比前两题好写一万倍。