树形 dp 总结

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A（考虑影响 + 分类讨论）

首先，我们可以发现 \(c_i=0\) 这个限制很令人火大。

观察到题目中只存在子树内的操作，因此想到祖先节点的操作会影响当前节点。具体而言，我们发现当祖先节点操作了至少一次时，我们总能通过调整操作顺序使得当前节点 \(c_i=0\)。但如果一次都没有呢？所以，只有 \(c'_i=1\) 时，当前节点 \(i\) 才能操作。

于是，定义 \(dp_{i,0/1}\) 表示当前节点 \(i\) 的祖先节点是否操作的方案数。对于祖先操作过的情况，有 \(dp_{i,1}=2 \times \prod dp_{nxt,1}\)（操作和不操作都合法）；对于没有操作过的，如果 \(c'_i=0\) 那就是 \(\prod dp_{nxt,0}\)，否则还得加上 \(\prod dp_{nxt,1}\)。

B（根节点路径问题转化为子树问题）

考虑设 \(x_i\) 表示点 \(i\) 被翻转了几次，则节点 \(i\) 翻转量 \(y_i\) 是其子树内所有节点 \(x_i\) 的异或和，目标要求 \(a_i \oplus y_i =0\)，即 \(y_i = a_i\)。

完成这个转化之后，我们考虑 dp。观察到有如下递推关系：

\[y_i = x_i \oplus \left( \oplus_{nxt \in son_i} y_{nxt} \right) \]

把 \(y_i\) 换成 \(a_i\) 之后，我们发现 \(x_i\) 是唯一确定的，于是我们就这样计算即可，\(ans=\sum x_i\)。

至于修改，我们只需要修改当前节点和父节点即可。

C（手玩技巧）

首先，若一个点能使棋子走到黑点，则我们称之为“好点”。

不难发现以下结论：

• 对于一个黑点，它本身就是“好点”；

• 对于邻接点是黑点的点，它也是“好点”；

• 而对于一对邻接点 \(u,v\)，若 \(v\) 子树内有两个黑点，且它自己也是“好点”，则 \(u\) 也是“好点”（这个可以手玩得出，那两个黑点可以交替使用让棋子走过去）。

这样我们便可以换根 dp 了（这题不止考虑子树内，所以要换根）。

套路的令 \(dp_i\) 表示 \(i\) 是否为子树内的“好点”，\(f_i\) 则是否为全局“好点”，按上述三类情况转移即可。