CDQ 分治小测

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A（容斥 + cdq）

利用二维前缀和思想，考虑将一个询问拆成四个，然后将询问离线后转化为 \(x_i \le x_j,y_i \le y_j,t_i \le t_j\)（\(t\) 是输入顺序）的三维偏序问题，使用 cdq 分治即可解决。注意 \(x,y,t\) 相同时需保证修改在询问之前。

B（容斥 + cdq 优化 dp）

首先列出朴素转移方程（令 \(dp_{i,j}\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 的合法方案数）：

\[dp_{i,j}=\sum_{x<i,y<j,a_{x,y} \neq a_{i,j}} dp_{x,y} \]

注意到要求行和列都严格递增，考虑 cdq 分治优化。

对于不同颜色的限制，我们可以采用容斥，用前面所有的 dp 值减去相同颜色的 dp 值，而相同颜色的 dp 值使用一个全局桶即可维护。

实现上并不需要将矩阵转换成序列再排序，cdq 分治中按照列循环即可满足题意。

C（带方案数 dp 的处理技巧）

令 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最长不上升子序列长度，\(f_i\) 表示 \(dp_i\) 对应的方案数。

因为题目要求方案数，所以我们还需要定义 \(dp1_i\) 表示以 \(i\) 开头的最长不上升子序列长度，\(f1_i\) 的定义类似。

转移需要找到一个决策点 \(j\)，满足 \(j<i,h_j \ge h_i,v_j \ge v_i\)，显然这是三维偏序问题，可以利用 cdq 分治优化。

实现上可以正着求出 \(dp_i,f_i\)，然后倒过来求出 \(dp1_i,f1_i\)。输出概率的话，用 \(f_i \times f1_i\) 除以 最长不上升子序列的总方案数即可，前提是 \(i\) 处在最长不上升子序列中（即 \(dp_i +dp1_i - 1 = ans\)，\(ans\) 为第一问答案）。