线性基

线性基

author: XOF

预备知识

概念与构造

三大应用

求最大值：

求 kth：

求 rank：

题目

P3812：板子。

P4869：对于非线性基的线性空间，其每个元素的重复次数相同（因为异或和为 \(0\) 的子集数量固定，只有它们才能产生重复）

P3292：树上线性基问题处理策略：倍增+暴力合并

CF1100F：前缀线性基（用于解决区间问题）：用贪心的思想，保留最大下标的 \(p_i\)

CF845G：图上线性基问题处理策略：点 \(x \to y\) 的路径异或和的所有可能为 \(dis_x \operatorname{xor} dis_y \operatorname{xor}\) 环上线性基的异或和

（原因：原本在树上，\(x \to y\) 的路径异或和即为 \(dis_x \operatorname{xor} dis_y\)。由于现在是图，异或又具有抵消性，于是从 \(x\) 走到 \(y\) 的过程中可以随时叉出去走到一个环再回来，中间的贡献被抵消。这样，我们可以将环看作一个点，将其异或和插入线性基，加入贡献范围内。）

CF724G：按位算贡献思想，\(0/1\) 分类讨论思想。