7月21日模拟赛总结

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T1 推柿子。（以下，令 \(S_i\) 表示 \(\sum ^i_{j=1} a_i\)。）

\[\sum ^r_{i=l} a_i=r-l+1\\ S_r-S_{l-1}=r-l+1\\ S_r-r=S_{l-1}-(l-1) \]

于是，我们令 \(p_i=S_i-i\)，问题转化为求序列中有多少对 \(p_i\) 相等，用 map 做即可。

T2 容易发现这题和昨天 T1 很像，只是多了一个恰好包含一个逆序对的约束。于是，只要有一个环里边存在和当前点相邻的点，就可以只剩下一个逆序对（如果不相邻就会有不止一个），用个 map 统计一下即可。

T3 依旧令 \(S_i\) 表示 \(\sum ^i_{j=1} a_i\)。根据抽屉原理，\(S_i\) 有 \(n+1\) 个，则它们中必定有两个同余。这表明，序列必定存在一个子区间，它满足 \(n \mid \sum a_i\)。然后就变成了和 T1 一样的问题。

T4 首先，我们注意到一个 fun fact。事实上，牌型的大小是固定的，就是 \(\sum a_i \bmod n\)，为什么呢，因为第一部分的和是 \(1000\) 的倍数！

有了这个结论，我们再来考虑如何【凑千】。显然，\(n \ge 1000\) 时，根据抽屉原理，按照上题做法即可。\(n<1000\) 时，考虑 01 背包即可。令 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 张牌、总和为 \(j\) 时是否可行，转移直接从 \(dp_{i-1,j}\) 和 \(dp_{i-1,j-a_i}\) 转移即可，初始 \(dp_{0,0}=1\)，答案 \(dp_{n,0}\)。需要额外记录一下方案。

T5 这题，先拆绝对值，分讨一下得到四种情况，大概是 \(p_i,i,p_j,j\) 四个东西加加减减之类的。然后把同下标的放到一起，显然 \(i\) 这块是可以枚举出来的，我们要求总体最小，那么 \(j\) 那块就要最小，把它扔到树状数组里维护即可。其实是比较套路的。

值得注意的是，这题暴力复杂度是对的，但具体我也没看懂证明。。。所以先咕了。我懒了，写的暴力。。。逃（

成绩：0+0+0+0+0，rk 不重要了，因为大家都保龄。最后一天还炸是吧好好好。。。

总结：

• 数学方面：绝对值拆开分讨、同下标的放到一起、抽屉原理。

• dp 记录方案：记录决策点接着从后往前找。