7月15日模拟赛总结

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T1 70 分是容易的（虽然我没拿到哈哈哈我是joker），考虑满分做法。

考虑贡献的思想，一个数的变化，只会对它及它后面的数造成影响。具体的，\(\forall i \in [2,n]\)，要么 \(+(i \times a)\)，要么 \(-(i \times b)\)。

第一个数很特殊，它会对所有 \(n\) 个数造成影响，这表明我的总和只要在模 \(n\) 意义下和 \(s\) 同余，就一定能够通过调整第一个数使得当前的总和变为 \(s\)。

这样转化了题意之后，我们考虑从后往前转移，其他的和 70 分做法是相同的。

T2 令 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最长括号序列。初始全 0。答案就是 \(\max\{dp_i\}\) 所对应的那段括号序列。转移 \(dp_i=dp_{i-1}+2+dp_{i-dp_{i-1}-2}\)，相当于在 \(dp_{i-1}\) 的基础上再加了一层括号，并拼上了前面一截括号序列，显然这样一定是最长的。十分自然的解法。

T3 考虑暴力，实际上就是枚举区间然后 check。现在显然是优化这个 check 的过程，于是自然地定义 \(dp_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 是否符合要求。转移考虑两种情形，\(dp_{i,j}\) 考虑从 \(dp_{i+1,j-1}\) 转移而来，或者自己转移到自己，具体见代码。

T4 首先考虑转化括号序列，( 为 1，) 为 -1。

然后考虑刻画答案。什么样的括号序列是合法的？

• \(\forall i \in [1,n],s_i \ge 0\)。

• \(s_n=0\)。

我们先考虑满足第一个条件。

令 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数，总和为 \(j\) 的方案数。

初始 \(dp_{0,0}=1\)，答案 \(dp_{n,\min\{i\}}\)，其中 \(dp_{n,i} \neq 0\)。

转移依旧分类讨论：

• 遇到左括号：\(dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}\)。

• 遇到右括号：

  • \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j+1}\)。

  • 添左括号：\(dp_{i,j}=dp_{i,j-1}\)。

  • 不添：\(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\)。

之所以在遇到右括号时才添左括号，是因为在哪里添都是一样的。

这样可以通过添加左括号来满足第一个条件。

接着，要想达到第二个条件，就必须添加右括号。

考虑使用与左括号类似的方法解决。这时仅需将左右括号互换，并倒转字符串再做一遍上述 dp 即可通过添加最少的右括号达成条件 2。本题得以解决。

成绩：0+40+0+0=40，rk3。

总结：

• 转移：只考虑一步、分类讨论。

• 刻画答案、正难则反、贡献思想、从部分分获得灵感。