Living-Dream 系列笔记 第41期
稍微讲一下 dijkstra qwq。
dijkstra、bellman-ford（or spfa）、bfs 的区别：
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dijkstra 以点为研究对象；
-
bellman-ford / spfa 则以边为研究对象；
-
而 bfs 可以看作边权为 \(1\)（or 全都相同）的 dijkstra，因此它可以用队列实现。
dijkstra 的具体实现：
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将所有点分为两类（黑点 / 白点），分别代表已确定 / 未确定最短路的点。
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每次在白点中选取与起点距离最近的点 \(u\) 染黑，并对所有 \(u \to v\) 进行松弛操作。
其中，距离取 \(\min\) 的操作若直接找是 \(O(n^2)\) 的，套个堆就能做到 \(O(n \log n)\)。
dijkstra 的理论依据（以下简称 引理）：
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在一张仅有正边权的图中，对于一白点 \(u\)，若它在 dijkstra 中被选中了，则一定不存在另一白点 \(v\)，使得 \(dis_{s,v}+dis_{v,u}<dis_{s,u}\)（\(s\) 为起点，\(dis_{u,v}\) 表示 \(u,v\) 之间的最短路）。
-
证明：
采用反证法。
假设存在不同于 \(u\) 的一白点 \(v\)，使得 \(dis_{s,v}+dis_{v,u}\) 比 \(dis_{s,u}\) 更短,
因为 \(u\) 在 dijkstra 中被选上了，根据 dijkstra 的实现过程，可得 \(dis_{s,u}<dis_{s,v}\)，
又因图中仅有正边权，所以有 \(dis_{s,u}<dis_{s,v}+dis_{v,u}\)，这与假设不符，命题得证。
证毕。
dijkstra 的注意事项：
-
dijkstra 无法用于正负交替边权（全负边权可以转正数后跑）。
-
dijkstra 无法跑最长路。
-
以上均可用 引理 来解释，在此不再赘述。
T1
brute-force dijkstra 板子。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=5e5+5;
int n,m,s;
int dis[N];
bool vis[N];
struct node{ int v,w; };
vector<node> G[M];
void dijkstra(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[s]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int mini=1e9,id=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(mini>dis[j]&&!vis[j]) mini=dis[j],id=j;
vis[id]=1;
for(node j:G[id])
if(dis[j.v]>dis[id]+j.w)
dis[j.v]=dis[id]+j.w;
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
cin>>u>>v>>w;
G[u].push_back({v,w});
}
dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<(dis[i]==0x3f3f3f3f?2147483647:dis[i])<<' ';
return 0;
}
T2
堆优化 dijkstra 板子。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=2e5+5;
int n,m,s;
int dis[N];
bool vis[N];
struct Edge{ int v,w; };
struct Node{
int u,w;
bool operator < (const Node &b) const{
return w>b.w;
}
};
vector<Edge> G[M];
inline int read() {
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while (ch > '9' || ch < '0') { if (ch == '-')f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
inline void write(int x) {
if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
void dijkstra(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[s]=0;
priority_queue<Node> pq;
pq.push({s,0});
while(!pq.empty()){
Node cur=pq.top(); pq.pop();
if(vis[cur.u]) continue; vis[cur.u]=1;
for(Edge j:G[cur.u])
if(dis[j.v]>dis[cur.u]+j.w)
dis[j.v]=dis[cur.u]+j.w,
pq.push({j.v,dis[j.v]});
}
}
signed main(){
n=read(),m=read(),s=read();
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
u=read(),v=read(),w=read();
G[u].push_back({v,w});
}
dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++) write(dis[i]),putchar(' ');
return 0;
}
T3
无向图上的堆优化 dijkstra 板子。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t;
int dis[3031];
bool vis[3031];
struct Edge{ int v,w; };
struct Node{
int u,w;
bool operator < (const Node &b) const{
return w>b.w;
}
};
vector<Edge> G[7031];
void dijkstra(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),dis[s]=0;
priority_queue<Node> pq; pq.push({s,0});
while(!pq.empty()){
Node now=pq.top(); pq.pop();
if(vis[now.u]) continue; vis[now.u]=1;
for(auto i:G[now.u]){
if(dis[i.v]>dis[now.u]+i.w&&i.v!=now.u)
dis[i.v]=dis[now.u]+i.w,
pq.push({i.v,dis[i.v]});
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>s>>t;
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
cin>>u>>v>>w,
G[u].push_back({v,w}),
G[v].push_back({u,w});
dijkstra();
cout<<dis[t];
return 0;
}
T4
\(2 \times n\) 遍 dijkstra 即可。
似乎有更优做法，但是我先咕着。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
int dis[3031];
bool vis[3031];
struct Edge{ int v,w; };
struct Node{
int u,w;
bool operator < (const Node &b) const{
return w>b.w;
}
};
vector<Edge> G[7031];
void dijkstra(int s){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),dis[s]=0;
priority_queue<Node> pq; pq.push({s,0});
while(!pq.empty()){
Node now=pq.top(); pq.pop();
if(vis[now.u]) continue; vis[now.u]=1;
for(auto i:G[now.u]){
if(dis[i.v]>dis[now.u]+i.w&&i.v!=now.u)
dis[i.v]=dis[now.u]+i.w,
pq.push({i.v,dis[i.v]});
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
cin>>u>>v>>w,G[u].push_back({v,w});
for(int i=2;i<=n;i++)
dijkstra(1),ans+=dis[i],
dijkstra(i),ans+=dis[1];
cout<<ans;
return 0;
}
T5
容易发现开关初始状态边权为 \(0\)，其余边权均为 \(1\)。
于是如此建图跑 dijkstra 即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b,ans;
int dis[131];
bool vis[131];
struct Edge{ int v,w; };
struct Node{
int u,w;
bool operator < (const Node &b) const{
return w>b.w;
}
};
vector<Edge> G[10031];
void dijkstra(int s){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),dis[s]=0;
priority_queue<Node> pq; pq.push({s,0});
while(!pq.empty()){
Node now=pq.top(); pq.pop();
if(vis[now.u]) continue; vis[now.u]=1;
for(auto i:G[now.u]){
if(dis[i.v]>dis[now.u]+i.w&&i.v!=now.u)
dis[i.v]=dis[now.u]+i.w,
pq.push({i.v,dis[i.v]});
}
}
}
int main(){
cin>>n>>a>>b;
for(int i=1,k;i<=n;i++){
cin>>k;
for(int j=1,v;j<=k;j++)
cin>>v,G[i].push_back({v,(j==1?0:1)});
}
dijkstra(a),cout<<(dis[b]==0x3f3f3f3f?-1:dis[b]);
return 0;
}
T6
边权设为 \(1-w \times 0.01\)，倒序从 \(B\) 推算出 \(A\) 即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a,b,ans;
double dis[2031];
bool vis[2031];
struct Edge{ int v; double w; };
struct Node{
int u; double w;
bool operator < (const Node &b) const{
return w>b.w;
}
};
vector<Edge> G[200031];
void dijkstra(int s){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i<=n+1;i++) dis[i]=2147483647.0;
dis[s]=100.0;
priority_queue<Node> pq; pq.push({s,100.0});
while(!pq.empty()){
Node now=pq.top(); pq.pop();
if(vis[now.u]) continue; vis[now.u]=1;
for(auto i:G[now.u]){
if(dis[i.v]>dis[now.u]/i.w)
dis[i.v]=dis[now.u]/i.w,pq.push({i.v,dis[i.v]});
}
}
}
int main(){
//freopen("P1576_1.in","r",stdin);
cin>>n>>m;
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
cin>>u>>v>>w,G[u].push_back({v,1.0-w*0.01}),G[v].push_back({u,1.0-w*0.01});
cin>>a>>b;
dijkstra(b),cout<<setprecision(8)<<fixed<<dis[a];
return 0;
}
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