随笔分类 - 数学
摘要：CF891E Lust 发现一次改变带来的收益就是 \(\prod a_i-\prod a_i'\)（\(a_i'\) 表示改变后的 \(a\) 数列）。所以最后就是求 \(\prod a_i-\prod(a_i-b_i)\)（其中 \(\sum b_i=k\)）的期望。 考虑计算 \(\sum\p
阅读全文
摘要：组合数奇偶判定的 trick。一句话总结就是 \(n - sum_n=k\)。其中 \(sum_n\) 表示 \(n\) 在二进制下的 $1$ 的个数，\(k\) 表示 \(n!\) 含有因子 $2$ 的数目。 首先如果当前串的不同排列数为偶数的话，也就是先手可以选择改变先后手的时候，先手必胜。 如
阅读全文
摘要：题目链接 发现每个“递增的”数一定可以拆成这样 $9$ 个数：$ \begin\underbrace{111\cdots111}\ p\end$。 假设我们现在选择了 \(k\) 个递增的数，那么有 \(n=\sum\limits_{i=1}^{9k}\frac{10^{p_i-1}}9\)。 也就
阅读全文
摘要：题目链接 先考虑有 $1$ 的局面。显然每次操作只能将一个数减少 $1$，若此时剩下的偶数的个数为奇数则先手必胜，反之后手必胜。 这对正解有启发作用。下面对没有 $1$ 的局面大力分情况讨论： 存在至少一个奇数并且偶数的数量为奇数个：先手必胜。先手只需维护任意时刻奇数个数 \(\geq 1\)，那么
阅读全文
摘要：题目链接 对于一个数的唯一分解：\(x=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots \times p_n^{k_n}\)，显然我们把每个 \(k_i\) 都对 $3$ 取模对答案没有任何影响（除了 \(x\) 本身就是完全立方数的特殊情况）。 考虑取模后每一个 \(
阅读全文
摘要：题目链接 观察形如 \(k^x\equiv r\pmod g\) 的式子，发现 \(k^x\) 在模 \(g\) 意义下一定有循环节，并且一定是一个 \(\rho\)。定义除环上点外其余点在“尾巴”上。 先考虑一个数 \(i\) 如果在环上会有什么特征（\(d=gcd(i,g)\)）： \[ i\t
阅读全文
摘要：题目链接 把 \(a[i]\) 从大到小排个序可以发现，我们每次操作相当于把最左边一排去掉或者把最下面一排去掉（分别对应操作 $1$ 和操作 $2$）。也就相当于在下图中向右走一步或者向上走一步，先走出去的人输。 我们设 $1$ 为必胜状态， $0$ 为必败状态。显然如果一个点的上方和右边都没有点了
阅读全文
摘要：题目链接 先考虑有一个 doge 在 $1$ 处的情况。假设另一个 doge 在 \(n\) （\(n\) 足够大），那么我们可以依次获得 \(n - 1, n - 2, 2, n - 4, 4, n - 8\cdots\)。发现这样我们可以通过二进制分解在限定次数内获得任意一个数。 再考虑一般情况
阅读全文
摘要：题目链接 采用随机的思想，钦定一个一定对答案有贡献的数。把这个数的所有因子拿出来求个贡献就好。（随机 $10$ 次错误的概率就是 \(\frac 1 {2^{10}}\)）。 代码： #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #in
阅读全文
摘要：题目链接 发现要求的一一映射的条件可以转化为，图中的每个点至少被树上的点映射了一次。考虑对此进行容斥，每次限定一个集合内的数不可被映射，最后乘上容斥系数。 设 \(f[x][i]\) 表示树上 \(x\) 被映射到 \(i\) 的方案数，则转移为： \[ f[x][i]=\prod \limits_
阅读全文
摘要：题目链接 \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m d(ij)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j} [(x,y)=
阅读全文
摘要：狄利克雷生成函数 定义 对于一个数论函数，设在 \(i\) 处的点值为 \(f_i\)，则定义它的狄利克雷生成函数DGF（Dirichlet Generating Function）为 \(F(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{f_i}{i^x}\)。 根据定义
阅读全文
摘要：luogu P4318 完全平方数 今天膜你赛的时候我想推一个 \(\sum\limits_{i=1}^n \mu^2(i)\)，结果太弱智了没推出来，然后就来看了这道题。 首先考虑二分答案。现在问题就转化为如何求上述式子。 对每个质因子的平方进行容斥，发现对于每个数容斥系数恰好是 \(u(i)\)
阅读全文
摘要：题目链接 \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n [i,n]&= n\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{(i,n)}\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{i=1}^{n/d} i[(i,n/d)=1]\
阅读全文
摘要：题目链接 求 \(\sum\limits_{i=x}^n\sum\limits_{j=y}^m [(i,j)=k]\)。 根据容斥原理，可以把原始拆成形式相同的四个柿子进行计算。（以下均假设 \(n<m\)，且所有除法均为下取整） \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i=
阅读全文
摘要：题目链接 发现任意一个 \(\leq n!\) 的数 \(x\) 都可以表现为以下形式： \[ x=a_1\times \frac{n!}{1!}+a_2\times \frac{n!}{2!}+\cdots + a_n\times \frac{n!}{n!} \] 且 \(a_i\leq i\)。
阅读全文
摘要：题目链接 可以发现， \(f\) 数列的每一项都可以写成 \(f_k^p\) 的形式，所以可以直接在指数上跑矩阵快速幂即可。记第 \(n\) 项的系数为 \(q\)，则现在相当于解方程 \(x^q=m\pmod p\)。 由于 \(p\) 是质数，所以我们可以找到模 \(p\) 意义下的原根 \(g
阅读全文
摘要：首先把底数 \((-1)\) 消掉： \[ (-1)^n=1-2\times (n\%2)=1-2\times (n-\lfloor\frac n 2\rfloor\times 2) \] 令 $k=\sqrt r $，所以原式等于： \[ \begin{aligned} \sum\limits_{
阅读全文
摘要：先考虑一个朴素的DP：设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个位置填 $1\sim j$ 的所有升序序列对答案的贡献。转移方程： \[ f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times j+f_{i,j-1} \] 这样时间复杂度是 \(O(nk)\) 的，无法接受。 我们先假设 \(f
阅读全文
摘要：这题我好像理解了几天/kk。 分三步考虑： 第一部分计数 由于每个人都是不一样的，所以我们首先要枚举哪 \(k\) 个人被碾压，贡献是一个组合数 \(\binom {n-1} k\)（B神自己不算在内）。 第二部分计数 现在我们要考虑对于每一门学科，哪些人比B神高，哪些人考的成绩小于等于B神。设恰有
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号