P10005 [集训队互测 2023] 基础寄术练习题

P10005 [集训队互测 2023] 基础寄术练习题

首先可以发现这个题目要求的计数对象非常诡异，我们考虑利用组合意义进行转化。

我们构造如下的一个组合模型：

• 假设我们有 \(n\) 种球，每种球有 \(a_i\) 个，现在将这些球排成一列，要求第 \(i\) 种球最后一次出现位置在第 \(i+1\) 种球的出现位置之前，求合法的概率是多少。

我们考虑从后往前放球，放第 \(i\) 种球的时候空位应该有 \(s_i\) 个。那么可以推出对于当前这一步合法的概率是 \(\dfrac{a_i}{s_i}\)。所以总的合法概率就是 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{a_i}{s_i}\)。这样的话我们就构造出了一个分母上前缀和的积。

\(k=1\)

然后我们来看 \(k=1\) 的部分，此时我们要求 \(\sum\limits_a \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{s_i}\)。现在考虑如果我们给定了 \(a_i\) 中出现的数字构成的无序集合 \(A\)，那么对于任何一种球的序列满足每种球的出现次数集合与 \(A\) 完全一致，它一定对应唯一的一个 \(a_i\) 的排列。

考虑这有什么用，上面的式子 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{a_i}{s_i}\) 告诉我们一个固定的 \(a_i\) 对应的合法球序列概率，而我们要求的实际上是 \(\sum\limits_a \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{a_i}{s_i}\)，也就是给出一个球序列，它是某个 \(a_i\) 对应的合法序列的概率总和；根据上面的分析，显然这个答案是 \(1\)，因此我们有 \(\sum\limits_a \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{a_i}{s_i}=1\)，于是可以得到一个关键结论：

\[\sum\limits_a \prod\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{s_i}= \sum_A \prod_{a\in A} \dfrac{1}{a} \]

我们做一个背包即可求出答案，复杂度 \(O(n^2)\)。

\(k=2\)

此时我们需要求出上面答案乘上 \(a_1\) 的结果。很显然结论不能再用了，但是我们依然可以利用上面的模型去求解。

我们考虑有没有什么别的方法去计算这个概率，考虑现在我们还是已知集合 \(A\)，并且我们确定了 \(a_1\)，考虑合法的概率是多少。此时合法的条件只有一个：出现了 \(a_1\) 次的球的最后一次出现位置是最靠前的。

考虑容斥，枚举一个 \(A\) 的子集 \(B\) 表示出现次数在 \(B\) 集合中的球的最后一次出现位置在 \(1\) 之前，那么可以推出答案的方案数为：

\[\binom{S_B}{b_1,b_2,\cdots}\binom{S_B+a_1-1}{S_B}\dfrac{S_A}{(S_B+a_1)!\prod\limits_{a_i\not\in B,a_i\ne a_1} a_i!} \]

化简一下可以得到：

\[\binom{S_A}{a_1,a_2,\cdots}\dfrac{a_1}{S_B+a_1} \]

而我们要求的是概率，所以要除掉方案数，也就是前面的部分。因此一个集合 \(B\) 的贡献实际上只有 \(\dfrac{a_1}{S_B+a_1}\)，同时它的容斥系数也是显然的，应该是 \((-1)^{|B|}\)。

所以我们依然考虑用背包 dp 集合 \(A\)，设 \(f_{i,j,s,0/1}\) 表示当前处理了 \([1,i]\) 的数，选入 \(A\) 集合的有 \(j\) 个，\(S_B+a_1=s\)，\(a_1\) 是否被钦定的方案数。转移的时候考虑当前数的决策，有不放 / 放入 \(B\) / 放入 \(A-B\) / 钦定为 \(a_1\) 四种可能，分别转移即可。注意不要忘了除以 \(a_i\) 才是最终的答案。

总复杂度为 \(O(n^4)\)，可以通过。 事实上 \(k=1\) 也可以用这个方法求解，只需要在钦定 \(a_1\) 的时候少乘一个 \(a_1\) 即可。