常见技巧总结

常见技巧总结

1 动态规划

  1. 对于贡献存在于整棵树上的 dp，考虑分两次分别计算子树内和子树外的贡献。也就是传统的 up and down。
  2. AC 自动机上 dp 一般考虑设状态为：\(dp(i,j)\) 表示枚举到 AC 自动机上第 \(i\) 个点，字符串长度为 \(j\) 时的方案数。在 \(n\) 较小的时候也可以再加上一维状压。
  3. 当 dp 题目中出现差值的时候，可以考虑差值 dp。具体的，状态中设一维 \(x\)，dp 值记录与 \(x\) 的差值，答案就是 \(x+dp(x)\)。
  4. 灵活运用刷表法和填表法进行转移。
  5. 状压 dp 时，for (int T = S; T; T = (T - 1) & S) 可以不重不漏枚举 S 二进制下的所有子集。
  6. 在区间 dp 时，单次考虑取一个或者取一段区间所得出的方程不同，最后做法的难易程度也可能不同，需要灵活处理。
  7. 树形 dp 时，我们可以考虑对于每一条重链只开一个 dp 数组进行转移，在重链头进行合并，可以将空间复杂度优化至 \(\log\)。
  8. 在 dp 状态中，如果有一维的状态很大而难以记录，考虑矩阵快速幂优化，或者去发现一些特殊性质以优化状态设计。
  9. 在 dp 转移中，如果出现两维需要一起转移，然而两维实际上是独立的时候，可以考虑分步转移以优化复杂度。
  10. 对于配对问题，一种经典做法就是记录前面有多少个位置还没有配上，进而计算贡献。
  11. 对于一些题目，其操作正向考虑较难计算贡献，我们可以反向考虑最后一次操作的贡献。
  12. 考虑对转移顺序模糊的步骤强制钦定顺序以保证正确性。
  13. 状态中定义域过大而值域较小的时候考虑交换值域定义域。

2 图论

2.1 普通图

  1. 对于边权为 \(1\) 的图，常采用 Bfs 求解各种问题。
  2. 对于求一些路径总和的题目，可以考虑拆成每一条边的贡献。
  3. 图上有一个经典容斥套路：假如要求 \(n\) 个点的图满足某一条件且联通，设 \(f(i)\) 表示 \(i\) 个节点的满足条件且联通的图的方案数，\(g(i)\) 表示 \(i\) 个节点的满足条件的图的方案数。如果可以简单的求出 \(g(i)\)，就可以用 \(g(i)\) 求出 \(f(i)\) 了。具体的，对于一个 \(f(i)\)，用其方案数应该是 \(g(i)\) 减去不联通的图的方案数。我们钦定不联通的图中，\(1\) 号点所在连通块大小为 \(j\)，则此时不合法方案数就是 \(f(j)g(i-j)\binom{i-1}{j-1}\)。
  4. 建图论模型时如果出现多个点 \(U\) 连向多个点 \(V\)，复杂度达到 \(O(n^2)\) 的时候，考虑建立一个中转点 \(x\)，让 \(U\to x\to V\)，可以将复杂度优化至 \(O(n)\)。

2.2 树

  1. 一个森林的连通块个数是 点数 - 边数。
  2. 树上 \(n\) 个关键点之间形成的最小联通子图的大小为 \(\sum\limits_{i=1}^n \operatorname{dep}_{a_i}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\operatorname{dep}_{\operatorname{lca}(a_i,a_i+1)}-{\operatorname{dep}_{\operatorname{lca}(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)}}\)（按 DFS 序排序后）。
  3. 在树上维护路径的题目中，需要考虑路径可以拆成哪几段路径以更方便的处理。最常考虑的就是 \(\text{LCA}\) 以及根节点。
  4. 树上启发式合并的复杂度很优秀，关键的时候需要想能否通过启发式合并优化复杂度。
  5. 树上三个点有一个很好的性质：任意两个点的 \(\text{lca}\) 中至少两个是一样的。由此可以衍生出更多性质，例如已知三个点之间的距离可以求一个点在谁的子树中等。
  6. 遇到一类树上构造问题时，可以先从叶子开始考虑，因为叶子度数为 \(1\) 的特性可能会简化情况，并且删去叶子后问题可以递归求解。
  7. 遇到树上和子树大小 / 连通块大小有关限制时，可以考虑以重心为根发掘性质。

2.3 特殊图

  1. 竞赛图缩点后会形成一条链，每个点会向后面的每个点连边。
  2. 竞赛图上 SCC 计数有一个套路：由于竞赛图缩点后会形成一条链，所以每个强联通分量会对应一个前缀，而这个前缀满足这个前缀中所有点都指向外面的点。我们称这样的一个前缀为一个割集，而统计 SCC 数量实际上就是统计割集数量。

3 二进制 / 位运算

  1. 几个二进制数之间位运算最优性问题可以考虑 0-1 Trie。
  2. 对于某些二进制问题可以考虑将每一位拆开计算。

4 数据结构

  1. 序列上进行操作的题目，如果不像传统的数据结构题，可以先去发现一些性质，然后可能会发现答案与某一数组的求解关系较大，而这个数组的求解就可能用到数据结构。
  2. 当某一操作或某一贡献只在特定区间内存在时，考虑线段树分治。
  3. 可以在平衡树上的每一个节点维护一个区间，当需要查询其子区间信息的时候将该节点分裂即可。
  4. 假如要维护的东西不是一个数值而必须维护一些数组，考虑减小其规模，这样仍可以在线段树上暴力合并求解。
  5. 二分加线段树的复杂度是两个老哥，由于线段树的大常数这样的做法其实往往难以通过。考虑直接在线段树上二分来替代。
  6. 序列上的问题除了考虑传统数据结构外，也可以考虑在前缀和 / 差分数组上操作，或许会发现更为优秀的性质。
  7. 线段树懒标记的本质是记录不同时间对该区间的操作。因此先下放的懒标记的操作时间一定是小于当前的懒标记的。可以通过这个性质维护一些有时间限制的操作。
  8. 注意当操作看上去较为难维护的时候能不能通过离线 / 扫描线等方式简化。
  9. 珂朵莉树在有特殊性质下可以保证 \(O(n\log n)\) 的复杂度，题目中出现相关信息的时候要注意。
  10. 在一个无重复元素的序列上找某一元素左 / 右第 \(k\) 个比自己大的元素可以使用链表求解。具体的，对原序列维护链表，然后按照元素大小从小到大删去元素。这样求解一个点的答案的时候，比这个元素小的元素已经全部清除，然后跳链表即可求解。
  11. 使用莫队时，由于莫队修改复杂度 \(O(\sqrt n)\) 而查询复杂度是 \(O(1)\) 的，所以如果搭配一个修改较快而查询较慢的数据结构复杂度依然不变。最经典的例子就是莫队套树状数组的复杂度是 \(O(n\sqrt n\log n)\) 的，但是如果把树状数组改成值域分块的话复杂度就还是 \(O(n\sqrt n)\) 的。
  12. 题面中出现了明显的一组乘法关系形如 \(v\times a_v\le n\) 时，考虑根号分治。

5 其它算法

5.1 贪心

  1. 求解贪心最简单的做法就是考虑邻项交换法，以此算出排序函数。
  2. 需要注意的是排序函数需要满足四个性质：非自反性、非对称性、传递性、非可比性的传递性。如果不满足需要考虑怎样修正。
  3. 传统贪心无法解决的问题可以考虑反悔贪心。具体的就是用一个堆去维护已经做过的决策，如果决策放到现在做更优就更换。

5.2 倍增

  1. 在序列上按照同一种方式走的时候，可以考虑倍增预处理辅助求解。
  2. 同一种数据要多次复制时，可以考虑倍增加快复制。
  3. 矩阵快速幂的时候可以通过观察矩阵性质将单次乘法的复杂度做到 \(O(n^2)\)，这样就可以优化时间复杂度。

5.3 中位数

  1. 传统求解区间中位数的方式是对顶堆，即维护两个大小相差不超过 \(1\) 的堆，插入时动态调整即可。利用 set 就可以支持删除操作。
  2. 数据随机的情况下，每一次增加一个数对中位数的影响是常数级的，于是可以直接暴力。

5.4 二分 / 分治

  1. 只要答案具有单调性，就可以考虑二分答案，这样往往可以将问题转化为简单的判定性问题求解。
  2. 求出序列中排除掉某个数的贡献，可以考虑分治求解。具体的，先将 \([l,mid]\) 的元素加入，递归到右半边；然后撤销这部分贡献，加入 \([mid+1,r]\) 的元素，递归到左半边。如此一来，当我们递归到区间 \([l,r]\) 时，所有不在该区间内的数字都被加入，我们在叶子节点处统计一下贡献即可。

6 数学

6.1 组合数学

  1. 在题目中要求某一个值的 \(k\) 次方之和时，我们常考虑 dp，设状态为 \(dp(i)\) 表示值的 \(i\) 次方之和，然后根据二项式定理进行合并即可。
  2. 和式有四大变换技巧需要注意：交换枚举顺序、改变指标变量、替换条件式、分离变量。如有大量求和式时考虑用如上方式优化复杂度。
  3. 对于一些组合数求和，可以从组合意义上考虑等价的表达，以优化时间复杂度。
  4. 对于一些所求答案形式较为奇怪的计数题，考虑能否赋予其组合意义以辅助求解。
  5. 在计算答案的过程中，如果发现难以保证最后的目标值恰好等于题目要求，但是可以保证这个值至少等于某个数，可以考虑设 \(g(i)\) 表示目标值至少为 \(i\) 的方案数，利用二项式反演来得出最后的答案 \(f(i)\)。
  6. 计算最大值为某个数的方案数时，可以考虑利用容斥，算出最大值小于等于 \(x\) 的方案数 \(f(x)\)，则最大值为 \(x\) 的方案数就是 \(f(x)-f(x-1)\)。最小值同理。
  7. 在模数较小的时候求解组合数的和，可以考虑利用 Lucas 定理，将组合数拆成 \(p\) 进制下每一位的结果相乘，然后利用数位 dp 求解。

6.2 概率和期望

  1. 对于计数题，有时可以转化为答案的期望乘上方案数，这样可能会有更好的性质。
  2. 对于图上求期望 / 概率，是 DAG 的可以拓扑排序 dp，非 DAG 的可以考虑高斯消元。

6.3 数论

  1. 题目中要求解一些数字的 \(\gcd,\text{lcm}\) 为固定值时，考虑经典的 \(\gcd\) 容斥。设 \(f(x)\) 表示算出的 \(\gcd\) 为目标值 \(x\) 的倍数的方案数，利用莫比乌斯反演求出原函数值。
  2. 对于大量相同形式的求和，如果时间复杂度不支持暴力计算，考虑仿照快速幂的方式倍增求解。
  3. 整数的质因数分解式不仅仅用于传统数论题，它也用在估计答案上界、优化状态记录等。

7 杂项

  1. 多次多个元素的贡献可以拆成多次单个元素贡献的和，即考虑每一个个体对整体的贡献。
  2. 对于判断可以或不可以的题目，可以先看可以或不可以时满足的条件，以此发现一些性质后去做。
  3. 当出现 至少一个 等字眼时，考虑用总的情况减去全部非法的情况。
  4. 正序做困难时考虑反向做（包括但不限于组合数学、序列问题、图上删边等问题）。
  5. 遇到取整的时候不妨考虑 \(\pm0.5\)。
  6. 特殊情况下可以考虑数据随机时更暴力的解法。
  7. 对于某些序列问题，可以考虑能否通过连边将其转化为树上问题求解。
  8. 当题目中出现区间 \(\max,\min\) 的要求的时候，常见处理方式有两种：单调栈去算一个数对区间的贡献，或者笛卡尔树固定一个区间的最值算贡献。两者的本质都是固定一个最值算贡献。
  9. 当题目的要求有非常显然的必要条件的时候，可以考虑这个条件是否充分。如果不充分但是有一定的充分性，可以考虑随机赋权值以增加其充分的概率来求解问题。
  10. 在暴力算法中，看看有没有什么特殊的性质（例如指针的值每一次至少翻一倍），可以使其复杂度降低。
  11. 将题目转化为一些模型或式子之后，也不要忘了题目的实际背景，有时可以从中得到一些性质。
  12. 在某些题目中，不妨先假设出某些关键值，然后再分析性质。
  13. 分析题目时可以先排除掉一些平凡的情况后再做。
  14. 题目中要求有关最值的时候，可以考虑把所有值排序后一一加入算贡献。
  15. 对于排序等一类只考虑元素相对大小关系的题目，考虑枚举一个阈值 \(k\)，将 \(>k\) 的元素赋值为 \(1\)，\(\le k\) 的元素赋值为 \(0\) 之后进行求解。
posted @ 2024-02-27 19:10  UKE_Automation  阅读(186)  评论(0)    收藏  举报