奇迹和魔法在蒙兀儿也要守恒

\[\newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\dt}{\dot} \newcommand{\ddt}{\ddot} \newcommand{\h}{\hat} \newcommand{\t}{\text} \]

前传（？）：时与空的夹缝中转圜的古烈干。

前前传（？）：圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界。

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Lamé 系数考察 空间 下的 微分同胚 意义时的坐标系变换。其不含时。

Coriolis 加速度考察 时间 下的 坐标系刚体运动 意义时的坐标系变换。其不含空。

而本节，我们将考察另一种条件下的坐标系变换：其比 Coriolis 变换要更弱一筹，只研究 坐标系平移运动 意义时的坐标系变换。既然条件更简单了，那么适用范围势必将扩大。

Lamé 系数是是纯粹的 微分几何学 产物。

Coriolis 加速度是纯粹的 运动学 产物，将其转化为 Coriolis 力仅仅使用了 动力学 中 Newton 第二定律这一条性质。

而本节，我们将着眼于 动力学 中更广泛的一些事物。

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以下，总是令 R 为某惯性系，而 R' 为相对而言的另一系。不带 ' 的是 R 中的量，而带 ' 的则是 R' 中的量。

当 R' 的原点在 R 中的坐标是 \(\b r_0\)、速度是 \(\b v_0\)、加速度是 \(\b a_0\) 时：

• 运动学

\[\b r'=\b r-\b r_0 \\\b v'=\b v-\b v_0 \\\b a'=\b a-\b a_0 \]

• 动力学

\[\\\b F'=\b F-m\b a_0;\b F_a:=-m\b a_0\implies\b F'=\b F+\b F_a \]

其它例如动量、角动量之类的，因为任意非惯性系没有什么良好的性质，所以直接当作有一个额外的 \(\b F_a\) 的力的惯性系讨论即可。

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尝试讨论多物体系统的性质。

多物体系统时，定义系统的总质量、总动量、总角动量、总动能分别为

\[m^\t{sys}=\sum m_i \\\b p^\t{sys}=\sum\b p_i \\\b L^\t{sys}=\sum\b L_i \\K^\t{sys}=\sum K_i \]

物体 \(i\) 的受力是外界受力 \(\b F_i^\t{ext}\) 和内部相互作用力 \(\b F_{ji}\) 的总和。因为内部受力的抵消所以有

\[\b F^\t{ext}=\sum\dt{\b p}_i=\dt{\b p}^\t{sys} \]

因此，总外力为零时，内部总动量守恒。

角动量的场合，有

\[\dt{\b L}^\t{sys}=\sum\dt{\b L}_i=\sum\b\tau_i=\sum\b r_i\times(\b F_i^\t{int}+\b F_i^\t{ext}) \]

但是，考虑两个质点 \(\b r_i,\b r_j\) 分别受等大反向且沿 \(\b r_{ij}\) 的力 \(\b F_{ji},\b F_{ij}\)，则有二者的总扭矩

\[\b\tau=\b r_i\times\b F_{ji}+\b r_j\times\b F_{ij} \\=(\b r_i-\b r_j)\times\b F_{ji} \\=\b r_{ij}\times\b F_{ji}=\b0 \]

因此，作用方向沿连线的内部力对角动量没有影响。因为全部四种基本力都满足该性质，所以我们可以得出 \(\b\tau^\t{int}=\b0\) 的性质。于是有

\[\dt{\b L}^\t{sys}=\b\tau^\t{ext} \]

经典力学 中的宏观力，如果是“超距”力（重力、电磁力）则都满足该性质，否则“接触”力（摩擦力、张力）都有 \(\b r_i=\b r_j\)​ 因此也满足该性质。

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定义 质心 (center of mass, COM) 为 \(\b r^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b r_i}{\sum m_i}\)。COM 既然是一个点，那么就可以计算其速度、加速度

\[\b v^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b v_i}{\sum m_i} \\\b a^\t{com}=\dfrac{\sum m_i\b a_i}{\sum m_i} \]

特别地，通过想象所有质量集中于质心，可以对 COM 定义动量、角动量、动能

\[\b p^\t{com}=m^\t{sys}\b v^\t{com}=\sum m_i\b v_i=\sum\b p_i=\b p^\t{sys} \\\b L^\t{com}=\b r^\t{com}\times\b p^\t{com} \\K^\t{com}=\dfrac12m^\t{sys}\|\b v^\t{com}\|^2 \]

于是有

\[\b F^\t{ext}=\sum\dot{\b p}_i=\dot{\b p}^\t{com}=m^\t{sys}\b a^\t{com} \]

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在从 R 系换到 R' 系的过程中，有

\[\b p'^\t{sys}=\b p^\t{sys}-m^\t{sys}\b v_0=\b p^\t{sys}-\b p_0 \\\b L'^\t{sys}=\sum\b r_i'\times\b p_i' \\=\sum(\b r_i-\b r_0)\times(m_i\b v_i-m_i\b v_0) \\=\sum\b r_i\times\b p_i-\dfrac{\sum m_i\b r_i}{m^\t{sys}}\times m^\t{sys}\b v_0-\b r_0\times\sum m_i\b v_i+\sum m_i\b r_0\times\b v_0 \\=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p_0-\b r_0\times\b p^\t{sys}+\b r_0\times\b p_0 \\K'^\t{sys}=\sum\dfrac12m_i\|\b v_i'\|^2 \\=\sum\dfrac12m_i\|\b v_i-\b v_0\|^2 \\=\dfrac12\sum m_i(\|\b v_i\|^2+\|\b v_0\|^2-2\b v_i\cdot\b v_0) \\=K^\t{sys}+K_0-\b p^\t{sys}\cdot\b v_0 \]

其中，\(\b r_0\) 是 R' 系原点在 R 系中的位矢；\(\b p_0,K_0\) 分别是将 R' 系看做浓缩于 R' 系原点的质点时，该质点的动量和动能，即 \(m^\t{sys}\b v_0,\dfrac12m^\t{sys}\|\b v_0\|^2\)。

特别地，如果 R' 是静止系（即 \(\b v_0=\b p_0=\b0\)），则上式简化为

\[\b p'^\t{sys}=\b p^\t{sys} \\\b L'^\t{sys}=\b L^\t{sys}-\b r_0\times\b p^\t{sys} \\K'^\t{sys}=K^\t{sys} \]

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这其中，有一种特殊的场合，就是当 R' 系是 质心系 (Center of Mass Reference Frame, COMRF) 的场合，此时式子会有一些简化。

在质心系下，质心始终保持于原点，于是有 \(\b r'^\t{com}=\b v'^\t{com}=\b a'^\t{com}=\b p'^\t{com}=\b p'^\t{sys}=\b0\)。

注意分清记号！例如，\(\b p^\t{com}\) 为惯性系下质心动量，\(\b p'^\t{com}\) 为质心系下质心动量；\(\b p^\t{sys}\) 为惯性系下系统动量，\(\b p'^\t{sys}\) 为质心系下系统动量。

而在上一节中的所有式子中，我们可以将 \(\b r_0,\b p_0,K_0\) 分别代入 \(\b r^\t{com},\b p^\t{com},K^\t{com}\)，于是有

\[\begin{matrix} \b L'^\t{sys}=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{sys}+\b r^\t{com}\times\b p^\t{com} \\=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p^\t{com}&(\b p^\t{com}=\b p^\t{sys}) \end{matrix} \]

特别地，另一种视角是，质心系下物体受到非惯性力 \(\b F_i^\t{ine}=-m_i\b a^\t{com}\)，而这些非惯性力的总扭矩

\[\b\tau^\t{ine}=\sum\b r'_i\times\b F_i^\t{ine}=-\dfrac{\b r'^\t{com}}{m^\t{sys}}\times\b a^\t{com}=\b0 \]

因此，质心系 下忽略惯性力时，仍满足 角动量 守恒。然而，质心系考虑 动量 守恒时不能忽略惯性力；在其它 非惯性系 下，无论是角动量还是动量都不能忽略惯性力。

同理，有

\[\begin{matrix} K'^\t{sys}=K^\t{sys}+K^\t{com}-\b p^\t{sys}\cdot\b v^\t{com} \\=K^\t{sys}+K^\t{com}-2K^\t{com}&(\b p^\t{sys}=m^\t{sys}\b v^\t{com}) \\=K^\t{sys}-K^\t{com} \end{matrix} \]

此乃 Koenig 定理。

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刚体 (rigid body) 是一种特殊的系统，其中所有质点之间距离不变。虽然这并非充分条件：存在手性等无法通过连续变换达成的特征，不过本文不予考虑。刚体的这个特征保证了内力的功相互抵消。

平移 (translational motion) 是刚体的一种运动模式，其中所有质点之间距离向量不变。旋转 (rotational motion) 则是另一种模式，须相对某个轴进行——这个轴可以随时间变化。任何刚体运动都可以被拆解为平移和旋转的结合。

角速度 \(\b\omega\) 可以叠加。即，对于三个共原点的坐标系，有 \(\b\omega_{1,3}=\b\omega_{1,2}+\b\omega_{1,3}\)；但是角矢量 \(\b\theta\) 因为没有交换律，所以不能叠加。因此，角矢量只应该在定轴旋转的场合使用——此时刚体的自由度为 \(1\)，因此可以如此定义。

定轴的场合，有如下关系

\[\d s=r\d\theta \\\b v=\b\omega\times\b r \\\b a_t=\b\alpha\times\b r \\\b a_n=-r\omega^2\b e_r \]

其中，\(\b r\) 应是至轴的距离。假如放到某个坐标系下，要将其与至原点距离区分。

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取定点为原点，并假设刚体沿 \(z\) 轴转动。则对于某个位于 \(\b r=z\b e_z+\rho\b e_\rho\) 处的质点，其角动量

\[\b L=\b r\times\b p=m\rho^2\omega\b e_z-mz\rho\omega\b e_\rho \]

这其中，

\[\b L_z=m\rho^2\b\omega_z \]

是与 \(z\) 无关的量。于是，在考虑刚体系统的轴向角动量时，即有

\[\b L_z=(\sum m_ir_i^2)\b\omega _z \]

于是可以定义相对于某轴 \(S\) 的 转动惯量

\[I_S=\sum m_ir_i^2=\int r^2\d m \]

则有

\[\b L_S=I_S\b\omega_S \\\b\tau_S=I_S\b\alpha_S \]

注意，这并不意味着刚体只有轴向角动量，仅仅是角动量的轴向分量满足这个性质。此外，此处的角速度 \(\b\omega\) 必须只沿轴向，即当转轴与主轴 \(S\) 不同时，上式不成立。

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前一条定理是在定轴旋转的情形，即非惯性系下推出的。但是，注意到在质心系下计算角动量时可以忽略惯性力，因此上式在过质心的轴系下仍然成立。并且，从质心轴系 \(I\) 到与之平行、轴距 \(d\) 的 \(I_S\)，有关系

\[I_S=\sum m_i(\b r'_i+\b r_0)^2 \\=\sum m_i(r_i'^2+r_0^2) \\=I+md^2 \]

此乃 平行轴定理。

此外，在计算刚体平面薄片对垂直轴 \(z\) 的转动惯量 \(I_z\) 时，可以在水平面上取两个互相垂直且均与 \(z\) 轴相交的 \(x,y\) 轴，然后有

\[I_z=I_x+I_y \]

此乃 垂直轴定理。

两个同轴旋转的刚体的转动惯量可以直接相加。

此乃 可加性定理。

注意，以上方法仅仅是用来求 转动惯量 的定理，而不是用来求 角动量 的定理。角动量-转动惯量定理只在转轴主轴重合的场合生效。

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单点动能也可以写成

\[K=\dfrac12m\b v\cdot\b v=\dfrac12m(\b\omega\times\b r)\cdot\b v \\=\dfrac12m\b\omega\cdot(\b r\times\b v) \\=\dfrac12\b\omega\times\b L \]

于是刚体绕主轴旋转的动能即为

\[K=\dfrac12I^2\omega \]