时与空的夹缝中转圜的古烈干

\[\newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\dt}{\dot} \newcommand{\ddt}{\ddot} \newcommand{\h}{\hat} \]

前传（？）：圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界。

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Lamé 系数是纯粹的坐标系不含时变换，但是坐标系可以比较畸形，只要其仍是几乎处处微分同胚即可。

另一个角度是，坐标系现在也在含时变换，但好处是可以认为任意时刻的坐标系都是 Cartasian 的，即存在一组处处相同的正交基。

坐标系含时变换可以一概用两个事物描述：

• \(\b V(t)\)，描述坐标系原点的运动。
• \(\b\Omega(t)\)，描述坐标系正交基的转动。

令 R 为基准坐标系，其是非惯性系。令 R' 为运动的坐标系，则位矢 \(\b r\) 在二者中的关系是

\[\b r=\b R(t)+\b r' \]

其中 \(\b R(t)\) 是 R' 原点在 R 中的坐标，也可以看做是 \(\int_0^t\b V(t')\d t\)。这是因为位矢本身只与原点有关，与坐标系的旋转无关；坐标系则关系着位矢的分解。因为我们接下来仅考虑某个具体 \(t\) 时刻的信息，所以会省略 \((t)\)。

已知 \(\b r=\b R+\b r'\)。现在考虑 \(\b v\) 和 \(\b v'\) 的关系。

\[\b r'=x'\h{\b x'}+y'\h{\b y'}+z'\h{\b z'} \\\dot{\b r'}=\dt{x'}\h{\b x'}+\dt{y'}\h{\b y'}+\dt{z'}\h{\b z'}+x'\dt{\h{\b x'}}+y'\dt{\h{\b y'}}+z'\dt{\h{\b z'}} \\=\b v'+\b \Omega\times\b r' \]

这里注意一点，如果要考虑 \(\b v'\) 和 \(\b a'\)，则此时应该完全放到 R' 系下去分析，此时 R' 是静止的，变动的反倒是 R，因此 \(\b v'=(\dt{x'},\dt{y'},\dt{z'})\)，而 \(\b a'=(\ddt{x'},\ddt{y'},\ddt{z'})\)。

对 \(\b r=\b R+\b r'\) 关于时间求导，即得

\[\b v=\b V+\b v'+\b\Omega\times\b r' \]

再导，得到

\[\dt{\b v}=\dt{\b V}+\dt{\b v'}+\dt{\b\Omega}\times\b r'+\b\Omega\times\dt{\b r'} \]

分析每一项。

• \(\dt{\b V}\) 只与坐标系平移有关，因此直接记作 \(\b A\) 即可。
• \(\dt{\b v'}\) 与 \(\dt{\b r'}\) 类似，同样可以得到 \(\dt{\b v'}=\b a'+\b\Omega\times\b v'\)。
• \(\dt{\b\Omega}\times\b r'\) 只与坐标系旋转有关。
• \(\b\Omega\times\dt{\b r'}\) 可以代入 \(\dt{\b r'}\)，最终得到

\[\begin{matrix} \b a=&\b A&+&\b a'&+&2\b\Omega\times\b v'&+&\dt{\b\Omega}\times\b r'&+&\b\Omega\times(\b\Omega\times\b r')& \\&\text{平移}&&\text{相对}&&\text{Coriolis}&&\text{Euler}&&\text{向心}& \end{matrix} \]

有了加速度的关系，力的关系就可以简单写成

\[\begin{matrix} \b F=&m\b A&+&\b F'&+&2m\b\Omega\times\b v'&+&m\dt{\b\Omega}\times\b r'&+&m\b\Omega\times(\b\Omega\times\b r')& \\&\text{平移惯性力}&&&&\text{Coriolis 力}&&\text{Euler 力}&&\text{向心力}& \end{matrix} \]

在只有匀速旋转的场合，有 \(\b V(t)=\b0,\b\Omega=\omega\h{\b z}\)，此时退化为

\[\b F=\b F'+2m\b\Omega\times\b v'-m\omega^2\h{\b r} \]