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摘要： # 简单博弈论 ## Nim游戏 Nim游戏满足以下三个条件: (1)两名玩家交替行动 (2)游戏过程中，可以执行的的行动和轮到哪位玩家没有关系 (3)不能行动的玩家判负 比如围棋就不是一种Nim游戏，因为围棋有黑白两子不满足(2)，围棋判断输赢规则较为复杂不符合(3)。下面的取石子游戏就是一个Ni 阅读全文

摘要： # 容斥原理 - 内容 用于解决多个有相交情况的集合的并集，例如三个集合的情形： 对于n个集合的交集有公式:$|S_1\cup S_2\cup S_3\cup \dots S_n|=(|S_1|+|S_2 阅读全文

摘要： # 卡特兰数 - 定义 卡特兰数非常常见，最为典型的就是给定n个1和n个0排列成为一个2n长度的01序列，要求对于任一个$1\le k\le 2n$都有从第一个数到第k个数中0的个数都不少于1的个数。 - 求法及其推导 我们可以把这个01序列抽象成一个具体的问题: 0代表向右走一步，1代表向上走一步 阅读全文

摘要： # 求组合数 ## 公式法 - 公式 $C_a^b=C_{a-1}^{b-1}+C_{a-1}^{b}$ - 公式理解 在b个要抽取的物品中任选一个x物品，第一次抽取情况无非两种，抽到了x和没有抽到x，如果抽到了x那么就只需要在剩下的a-1个中再抽取b-1个即可，如果没有抽到x，就在剩下的a-1个中 阅读全文

摘要： # 高斯消元法 - 作用 可以快速求解n元线性方程组： $$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \ 阅读全文

摘要： # 中国剩余定理 - 作用及内容 可以用来求解n组线性同余方程的通解，例如有n个数$a_1,a_2,a_3\dots a_n$和n个两两互质的数$m_1,m_2,m_3\dots m_n$组成的线性同余方程组的通解$x=\sum\limits_{i=1}^{n}a_iM_iM^{-1}_i$（$M_ 阅读全文

摘要： # 欧几里得算法 - 算法内容 计算两个数的最大公约数的算法，也叫辗转相除法。即： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 - 数学证明 设gcd(a,b)=d,则必定有：d|a且d|b,则必定有d|(ax+by)而a%b=a-a/b*b,所以d|(a%b),则d必定为b和a%b的约数，并且a%b 阅读全文

摘要： # 快速幂 - 算法作用 快速幂可以用来优化$a^b\%p$的计算，暴力做法计算n个$a^b\%p$的时间复杂度没o(n*b),而快速幂可以将时间复杂度降到o(n*logn)。 -算法内容 先初始化$a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2}\dots a^{2^{logb}}$这b个数，由算术 阅读全文

摘要： # 欧拉定理 - 定理内容 对于两个互质的整数a,n有$a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\enspace n)$ 这里的$\varphi(n)$指的是欧拉函数。 -数学证明 由$\varphi(n)$可知从1到n与n互质的有$m_1,m_2,m_3\dots m_{\varphi( 阅读全文

摘要： # 欧拉函数 - 定义 对于正整数n小于等于n的数中与n互质的数的个数记为$\varphi(n)$,即为欧拉函数 - 欧拉公式 由算数基本定理任意一个正整数都可以写作n=$p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a^k}$ 那么$\varphi(n)=n\prod\limits_ 阅读全文