欧几里得（及其扩展算法）

欧几里得算法

• 算法内容
  计算两个数的最大公约数的算法，也叫辗转相除法。即：
  gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
• 数学证明
  设gcd(a,b)=d,则必定有：d|a且d|b,则必定有d|(ax+by)而a%b=a-a/b*b,所以d|(a%b),则d必定为b和a%b的约数，并且a%b必定小于a则d必定为b和a%b的最大公约数。
  -代码实现
  优美，太优美了！
  给定n对数a,b，求它们的最大公约数。

#include<iostream>
using namespace std;
int find(int a,int b)
{
    return b?find(b,a%b):a;//优美 太优美了！！！！
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        int res=find(a,b);
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得算法

• 算法作用
  数论中有对于一对正整数a,b，必定存在一对x,y使得ax+by=gcd(a,b),扩展欧几里得算法可以算出这一对x,y.
• 算法内容
  求解ax+by=gcd(a,b),对于特殊的当b=0时有ax+by=gcd(a,0)=a,此时有x=1,y=0。当b\(\not=\) 0时，gcd(a,b)=gcd(b,a%b),设gcd(a,b)=d,则有：
  \(ax+by=bx^{\prime}+(a\%b)y^{\prime}=bx^{\prime}+(a-\frac{a}{b}*b)y^{\prime}=ay^{\prime}+b(x^{\prime}-\frac{a}{b}y^{\prime})\) 假如我们已经得到了\(y^{\prime}\)和\(x^{\prime}\)只需令\(x=y^{\prime},y=x^{\prime}-\frac{a}{b}y^{\prime}\)，也在递归过程中相邻两个过程中将xy调换就只需令\(y=y-\frac{a}{b}x\).
• 代码实现
  给定n对正整数a,b，对于每组都求出一对x,y,使得ax+by=gcd(a,b)

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//注意这里x.y都是引用
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        int x,y;
        int res=exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

• 代码细节
  这里传参的x,y都得使用引用，这样就可以对每一个形参x,y的改变就是对x,y的改变。

扩展欧几里得算法的应用

-(应用1) 线性同余方程组定义：
对于三个整数a,b,m 找到一个x,使得:\(a*x=b(mod\enspace m)\)

• 利用扩展欧几里得算法求解线性同余方程组
  \(a*x=b(mod\enspace m)\Longleftrightarrow a*x -b\)是m的倍数，不妨设为-y倍。则有：\(a*x+m*y=b\)有欧几里得定理可知b必定为gcd(a,m)的倍数才有解，所以可以先求解\(a*x+m*y=gcd(a,m)\),解出\(x^{\prime},y^{\prime}\),gcd(a,m),只要b不是gcd(a,b)的倍数就可以判断方程无解，如果b是gcd(a,b)的倍数那么x=\(x^{\prime}*\frac{b}{gcd(a,m)}\)
  -代码实现
  给定n组a,b,m，求出每一组的x使得\(a*x=b(mod\enspace m)\)，如果不存在这个x输出"impossible"

#include<iostream>
using namespace std;a
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y=y-a/b*x;
        return d;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,m;
        int x,y;
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&m);
        int res=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%res)
        {
            printf("impossible\n");
        }
        else
        {
            cout<<(LL)x*b/res%m<<endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

• (应用2）求逆元
  对于\(\frac{a}{b}\equiv a*x(mod\enspace m)\)当m为质数时可以用快速幂求解但是当m不为质数时快速幂算法失效，此时考虑用扩展欧几里得算法求解。由逆元定义\(a*x\equiv1(mod\enspace m)\Longleftrightarrow a*x+m*y=1\),利用扩展欧几里得算法求解即可。
• 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        LL a,p;
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        LL x,y;
        int d=exgcd(a,p,x,y);
        if(a%p==0)
        {
            puts("impossible");
            continue;
        }
        printf("%lld\n",(x%p+p)%p);
    }
    return 0;
    
}