【算法】【学习笔记】二分查找

二分查找

二分查找（Binary Search），又称折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它通过不断将搜索范围缩小一半，实现 \(O(\log N)\) 的时间复杂度。

核心前提：一定要是单调的数据，才可以使用。

基本思路

以递增数据作为例子

使用双指针的方法（左指针left，右指针right），一个指首，一个指尾，来维护查询区间：

1. 获取中间索引（mid = left + ((right - left) >> 1)，这个方法避免left和right直接相加可能导致的溢出）；
2. 左闭右闭[left, right]时：（ left = 0, right = n-1 )
   1. 比较中间索引的值和目标值target：
      • 相等：则已经找到目标索引，跳出循环；
      • 小于目标值：说明中间值偏小，目标值在右区间，将左指针left往右收缩为mid+1；
      • 大于目标值：说明中间值偏大，目标值在左区间，将右指针right往左收缩为mid-1；
   2. 若左指针left > right，说明没有找到目标，返回-1。
3. 左闭右开[left, right)时：（ left = 0, right = n )
   1. 比较中间索引的值和目标值target：
      • 相等：则已经找到目标索引，跳出循环；
      • 小于目标值：说明中间值偏小，目标值在右区间，将左指针left往右收缩为mid+1；
      • 大于目标值：说明中间值偏大，目标值在左区间，将右指针right往左收缩为mid；
   2. 若左指针left >= right，说明没有找到目标，返回-1。
4. 左开右闭(left, right]时：（ left = -1, right = n-1 )
   1. 比较中间索引的值和目标值target：
      • 相等：则已经找到目标索引，跳出循环；
      • 小于目标值：说明中间值偏小，目标值在右区间，将左指针left往右收缩为mid；
      • 大于目标值：说明中间值偏大，目标值在左区间，将右指针right往左收缩为mid-1；
   2. 若左指针left >= right，说明没有找到目标，返回-1。

边界处理要点

区间定义：左闭右闭、左闭右开、左开右闭会影响 mid 的更新方式。

溢出预防：使用 mid = left + ((right - left) >> 1)而非 mid = (right + left) >> 1)。

循环终止条件：left > right 说明无法找到。

代码示例

下为使用TypeScript写的左右闭合的区间，并且单调递减的例子。

function binarySearch(nums:number[], target:number){
	// nums是单调递减的
	const n = nums.length;
	let left = 0, right = n-1, res = -1;
	while(left <= right){
		let mid = left + ((right - left) >> 1);
		
		if(nums[mid] < target){
			// 太小了，说明在左边大的数中
			right = mid-1;
		}else if(nums[mid] > target){
			// 太大了，说明在右边小的数中
			left = mid+1;
		}else{
			res = mid;
			break;
		}
	}
	return res;
}

优缺点

• 优点：可以快速处理大量数据
• 缺点：
  • 一定要有序
  • 数据结构需要支持 \(O(1)\) 随机访问（如数组）。
    如果是单向链表，即使有序，也无法快速通过索引拿到中间值 mid，时间复杂度会退化成 \(O(N)\)。

拓展

• 查找边界：查找第一个/最后一个大于等于 target 的元素位置（左/右边界）——此时要在每次满足条件时时刷新res=mid；

• 二分答案：在单调的解空间中猜答案（如：求满足条件的最小值/最大值）。

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小知识：高中数学就学习了二分查找的思路，笔者完全没印象！