Eigen中SVD的理解

1.SVD = 奇异值分解
你可以把它理解成：
把一个复杂矩阵 A，拆成 3 个简单矩阵：A = U * Σ * Vᵀ
U：左边正交矩阵
Σ：中间只有对角线上有数字（奇异值）
V：右边正交矩阵
2. 我们为什么要做 SVD？
因为我们要解方程：
Ax = 0
而且约束：
x 的长度 = 1（||x||=1）
数学上已经证明：
满足条件的最优解 x = V 矩阵的最后一列！
这就是三角化能算出 3D 点的原因！
代码解释
auto svd = A.bdcSvd(Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV);
① A.bdcSvd(...)
对矩阵 A 做 SVD 分解
bdcSvd = Eigen 里最快、最常用的 SVD 算法
② Eigen::ComputeThinU
计算 U 矩阵
thin = 只算有用的部分，更快更小
③ Eigen::ComputeThinV
计算 V 矩阵
我们最需要 V！因为解藏在 V 的最后一列
④ |
= 同时要 U 和 V
小例子

点击查看代码

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/SVD>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main() {
    // 构造一个 4x4 矩阵，让 Ax=0 有解
    MatrixXd A(4, 4);
    A << 1, 2, 3, 4,
         2, 4, 6, 8,  // 和第一行线性相关
         3, 6, 9, 12, // 线性相关
         5,10,15,20;  // 线性相关
    auto svd = A.bdcSvd(ComputeFullU | ComputeFullV);
    // ==============================================

    cout << "V 矩阵（4列）：\n" << svd.matrixV() << "\n\n";
    
    // 现在可以安全取最后一列！
    VectorXd x = svd.matrixV().col(3);
    cout << "Ax=0 的解 x = V最后一列：\n" << x << endl;
    auto x=svd.matrixV().col(3);
    cout<<"x的长度="<<x.norm()<<endl;
    return 0;
}

运行结果

在公式 A = U * Σ * Vᵀ
中：奇异值 只在 Σ 矩阵里
SVD 奇异值的含义：
大奇异值：方程约束很强
接近 0 的奇异值：方程几乎没有约束，解可以随便飘
最小奇异值特别小 → 3D 点位置可以飘来飘去 → 噪声一扰动就完全变了 → 不能用！

点击查看代码

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/SVD>
using namespace std;
using namespace Eigen;

int main() {
    // 随便一个矩阵
    MatrixXd A(4, 4);
    A << 1,2,3,4,
         5,6,7,8,
         9,10,11,12,
         13,14,15,16;

    // SVD
    auto svd = A.bdcSvd(ComputeFullV);

    // 拿出奇异值（已经从大到小排好序了！）
    auto s = svd.singularValues();
    cout << "奇异值: " << s.transpose() << endl << endl;

    // 核心判断！！！
    double ratio = s[3] / s[2];
    cout << "最小/次小 = " << ratio << endl;

    if (ratio < 1e-2) {
        cout << "→ 解质量太差，返回 true，扔掉这个点！" << endl;
    } else {
        cout << "→ 解很好，返回 false，保留这个点！" << endl;
    }

    return 0;
}

运行结果