集合幂级数学习笔记

FWT

并非集幂核心内容，鸽了。

子集卷积

给定 \(f_S,g_S\)，其中 \(S\subseteq\{0,1\}^n\)，求

\[h_S=\sum_{T\subseteq S}f_Tg_{S/T} \]

称这样的卷积方式为子集卷积，\(T\) 与 \(S/T\) 的不交并为 \(S\)。

考虑按 \(|S|\) 分类，这样 \(T_1\) 与 \(T_2\) 不交并为 \(S\) 等价于 \(|T_1|+|T_2|=|S|\) 且 \(T_1\cup T_2=S\)。

设 \(f'_{i,S}\) 和 \(g'_{i,S}\)，将 \(f_S\rightarrow f_{|S|,S}\)。则先对每一行（第一维相同）分别或运算 FWT，再把每一列做卷积，再对每一行或运算 IFWT，\(h_S=h'_{|S|,S}\)。

这相当于枚举了子集卷积定义式中的 \(|T|\) 和 \(|S/T|\)，从而保证不交。

占位多项式

考虑从另一个角度理解子集卷积，按 \(|S|\) 分组相当于 \(f_S\leftarrow x^{|S|}f_S\)，称 \(x^{|S|}f_S\) 为占位多项式。子集卷积就是把转为占位多项式后的 \(f\) 先做 FWT，再对每一位卷积，再 IFWT。这是因为 FWT 把或卷积变为了逐位乘，只需要用占位多项式保证不交即可。

exp

求占位多项式，再 FWT，做多项式 exp（暴力做 \(\mathcal{O}(n^2)\)），再 IFWT 即可。还是因为 FWT 把所有运算都变成了逐位运算。

通用做法

求占位多项式，做 FWT，逐位做对应运算，再 IFWT 即可。