字符串总结

未完待续

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要记得有个东西叫哈希！

常用套路

一（基本根号结论）

给定 \(n\) 个字符串 \(s_1,\dots,s_n\)，保证 \(\sum\limits_{i=1}^n|s_i|\le L\)，则 \(s_i\) 长度只有 \(\mathcal{O}(\sqrt{L})\) 种。

证明：去重显然不劣，不重时最优取法为 \(|s_i|=i\)，只能构造出 \(\mathcal{O}(\sqrt{L})\) 个串。

二（ACAM 上根号结论）

给定 \(n\) 个字符串 \(s_1,\dots,s_n\)，保证 \(\sum\limits_{i=1}^n|s_i|\le L\)。则用它们建 AC 自动机，称字符串结尾点是关键点，所有点 fail 树上关键祖先数量总和 \(\mathcal{O}(L\sqrt{L})\)。

对于每个关键点，其对应原串长度 \(\ge\) fail 树上深度（因为每向上跳一次长度至少 \(-1\)），用上一条类似证明，最多只有 \(\mathcal{O}(\sqrt{L})\) 层有关键点，每一层有 \(\le L\) 次贡献，总贡献 \(\mathcal{O}(L\sqrt{L})\)。

括号序列问题

括号匹配问题，可以考虑对每组匹配单独考虑，以及把 (,) 分别视为 \(+1,-1\) 则前缀和 \(\ge 0\) 且总和 \(=0\)。

最长匹配子序列（LPS）

直接贪心，能放就放，不能放跳过。

证明考虑调整法，假设有一个最优解 \(P\) 和贪心构造 \(Q\) 不一样，找到第一个不一样的位置：若 \(P\) 有 \(Q\) 没有，这与贪心矛盾；若 \(P\) 没有 \(Q\) 有，且当前位置是 (，则把 \(P\) 的下一个 ( 放过来，一定不劣；若当前位置是 )，则把 \(P\) 的下一个 ) 调过来也一定合法。不断调整，最终 \(P=Q\)。

单点修改使括号序列合法

例题：CF2196D

每次可以单点修改括号序列，求最少操作次数使括号序列合法。

法一：直接贪

与求 LPS 过程类似，贪心，如果放入一个 ) 后不匹配，则把 ) 改为 (，最后得到一堆 (，给答案加上 ( 数量除以 \(2\) 即可。

做法很简洁，但是证明我只会转化为法二，在不合法的位置把 ) 改为 ( 以及调整最后的一串 ( 相当于把去掉 LPS 后的 ))...))((...(( 调为匹配。

*法二：高级且严谨的做法

对每对匹配单独考虑，把序列划分为若干二元组，每个二元组需要 \(0/1/2\) 次操作变为合法，而不难发现一堆 () 任意交错组合都是合法的。

先最大化 \(0\) 次操作二元组数量，发现去掉的部分构成匹配子序列，最长的相当于 LPS，直接找到并去掉。最大化 \(0\) 次操作二元组数量一定不劣，因为长 \(n\) 的序列只用 \(1/2\) 次操作二元组划分答案为 \(\frac{n}2\sim\frac{n}2+1\)，去掉一个 \(0\) 次操作二元组后答案变为 \(\frac{n}2-1\sim\frac{n}2\)。

于是得到 \(s'=\)))...))((...((，所有 )) 和 (( 都只需要 \(1\) 次操作，出现 )( 当且仅当两边 ) 和 ( 的数量均为奇数，特判并 \(+1\) 即可，答案为 \(\frac{|s'|}2\) 或 \(\frac{|s'|}2+1\)。