图论建模问题

本文将不定期更新

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图论建模

行列二分图

给一个二维平面，建立二分图，左部点编号为横坐标，右部点编号为纵坐标，平面上一个点即为二分图上一条边。

CF1140F Extending Set of Points

建立行列二分图，把每一个点看成一条边，则题述操作会将一个连通块变为完全二分图。使用线段树分治+并查集即可解决问题。

网络流建模

Hall 定理

对于一个二分图，设其左部点集合为 \(S\)，右部点集合为 \(T\)，边集为 \(E\)，设 \(f(V)=\{v\in T\mid\exist u\in V,(u,v)\in E\}\)（即 \(V\) 的邻域），则该二分图最大匹配为 \(|S|-\max(\max\limits_{V\subseteq S}\{|V|-|f(V)|\},0)\)。

证明：

根据最大流最小割定理，设左部点没有匹配的集合为 \(V\)，则 \(f(V)\) 均应被割掉，此时的割大小为 \(|S|-|V|+f(V)\)，对所有 \(V\) 取 \(\min\)，即可得到 \(|S|-\max(\max\limits_{V\subseteq S}\{|V|-|f(V)|\},0)\)。

OIFC NOIP2025集训 北师大实验 Back to Basics

据说有原题，没找到。

做法来自 wchengk09。

设蓝点集合为 \(B\)，红点集合为 \(R\)，第 \(i\) 行红点数量为 \(row_i\)，第 \(i\) 列红点数量为 \(col_i\)。

首先不难想到建立二分图求最大匹配。考虑 Hall 定理，我们要找到一个蓝点集合 \(V\subseteq B\)，最大化 \(|V|-|f(V)|\)。若 \((x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)\in V\) 且 \((x2,y2)\in B\)，则将 \((x2,y2)\) 加入 \(V\) 一定不劣，因此最优的 \(V\) 一定满足存在行集合 \(X\)，列集合 \(Y\)，使得 \(V=\{(x,y)\in B\mid x\in X,y\in Y\}\)。

考虑固定 \(X\)，则所有同行的红点贡献即为 \(\sum\limits_{i\in X}row_i\)。当加入一列 \(j\) 时，答案的变化量为

\[\begin{align*} \Delta &= \sum\limits_{i\in X}[(i,j)\in B]-\sum\limits_{i\notin X}[(i,j)\in R] \\ &= \sum\limits_{i\in X}[(i,j)\in B]+\sum\limits_{i\in X}[(i,j)\in R]-\sum\limits_{1\le i\le n}[(i,j)\in R] \\ &= |X|-col_j \end{align*} \]

则对于固定的 \(X\)，答案为 \(\sum\limits_{i=1}^n\max(|X|-col_i,0)\)。

注意到上式只与 \(|X|\) 有关，考虑枚举 \(i=|X|\)，则答案为

\[\max\limits_{i=1}^n\{-sum_i+\sum\limits_{j=1}^n\max(i-col_j,0)\} \]

其中 \(sum_i\) 为前 \(i\) 小的 \(row\) 之和，扫描线维护上式即可。

最小割模型

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划分点集问题，想到转最小割。

把原图上点 \(u\) 拆成 \(u\) 和 \(u'\)，把原图上边 \((u_i,v_i)\) 拆成 \((u_i,v_i')\) 和 \((v_i,u_i')\)，边权均为 \(w_i\)。根据 \(u\) 和 \(u'\) 在割的哪侧可以产生 \(4\) 种状态，不少于我们需要的类数 \(3\)。

考虑最小割 \((S,T)\) 上 \(u\) 和 \(u'\) 所在集合：

1. \(u\in S,u'\in T\)，令这样的点划分进 \(A\)。
2. \(u\in T,u'\in S\)，令这样的点划分进 \(B\)。
3. 其余情况，令这样的点划分进 \(C\)。

除 \(C-C\) 类边外，其他边都已满足要求。仔细考虑一下，\(C-C\) 类边真的不满足吗？其实也满足要求，因为如果 \(C-C\) 类边产生了 \(2w_i\) 的贡献，必然可以调整使得贡献变为 \(0\)。

连接 \((s,a,+\infty),(a',t,+\infty),(b',t,+\infty),(s,b,+\infty)\)，跑最大流即可。