组合恒等式

广义组合数相关

定义式

\[\boxed{\binom{n}{m}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!}} \]

其中 \(n^{\underline{m}}\) 为 \(n\) 的 \(m\) 次下降幂。

与普通组合数互转

\[\boxed{\binom{n}{m}=(-1)^m\binom{-n+m-1}{m}} \]

证明

等号左侧：\(LHS=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}\)。

等号右侧：\(RHS=(-1)^m\cdot\frac{(-n+m-1)\cdot(-n+m-2)\cdot(-n+m-3)\cdots(-n)}{m!}=\frac{(n-m+1)\cdot(n-m+2)\cdot(n-m+3)\cdots n}{m!}\)

杂项

一

\[\boxed{m\cdot\binom{n}{m}=n\cdot\binom{n-1}{m-1}} \]

证明

\[m\cdot\binom{n}{m}=m\cdot\frac{n^{\underline{m}}}{m!}=\frac{n\cdot(n-1)^{\underline{m-1}}}{(m-1)!}=n\cdot\binom{n-1}{m-1} \]

二

\[\boxed{\sum\limits_{i=0}^{b}i\cdot\binom{a+i-1}{a-1}=a\cdot\binom{a+b}{a+1}} \]

证明 1（拆阶乘）

考虑另一恒等式（杂项一），

\[m\cdot\binom{n}{m}=n\cdot\binom{n-1}{m-1} \]

回到原式，将普通组合数变为广义组合数，带入上式（对广义组合数仍适用），转回普通组合数，变为组合数列和，

\[\begin{align*} \sum\limits_{i=0}^{b}i\cdot\binom{a+i-1}{a-1} &=\sum\limits_{i=0}^{b}i\cdot\binom{a+i-1}{i} \\ &=\sum\limits_{i=0}^{b}(-1)^i\cdot i\cdot\binom{-a}{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{b}(-1)^i\cdot(-a)\cdot\binom{-a-1}{i-1} \\ &=a\cdot\sum\limits_{i=1}^{b}(-1)^{i-1}\cdot\binom{-a-1}{i-1} \\ &=a\cdot\sum\limits_{i=1}^{b}\binom{a+i-1}{i-1} \\ &=a\cdot\sum\limits_{i=0}^{b-1}\binom{a+i}{i} \\ &=a\cdot\sum\limits_{i=0}^{b-1}\binom{a+i}{a} \\ &=a\cdot\binom{a+b}{a+1} \end{align*} \]

证明 2（多项式）

写为生成函数，

\[\begin{align*} F(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}i\cdot\binom{a+i-1}{a-1}x^i \\ &=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}i\cdot\binom{a+i-1}{i}x^i \end{align*} \]

有一个东西，叫 \(\vartheta\) 算子，定义为 \(\vartheta F(x)=x\frac{d}{dx}F(x)\)，他能把 \(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix^i\) 变成 \(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}ia_ix^i\)，即 \(x^i\) 项系数乘以 \(i\)（洛谷 P5900 无标号无根树计数 有所使用）。考虑能否使用 \(\vartheta^{-1}\) 消去 \(x^i\) 前面乘的 \(i\)。

设

\[\begin{align*} G(x)&=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\binom{a+i-1}{i}x^i \\ &=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^i\binom{-a}{i}x^i \\ &=(1-x)^{-a} \\ \end{align*} \]

则 \(F(x)=\vartheta G(x)=x\cdot(-a)\cdot(1-x)^{-a-1}\cdot(-1)=ax(1-x)^{-a-1}\)

则

\[\begin{align*} \sum\limits_{i=0}^{b}i\cdot\binom{a+i-1}{a-1} &=\sum\limits_{i=0}^{b}[x^i]F(x) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{b}(-1)^{i-1}a\binom{-a-1}{i-1} \\ &=a\sum\limits_{i=1}^{b}\binom{a+i-1}{i-1} \\ &=a\sum\limits_{i=0}^{b-1}\binom{a+i}{i} \\ &=a\sum\limits_{i=0}^{b-1}\binom{a+i}{a} \\ &=a\binom{a+b}{a+1} \end{align*} \]