群论入门小记

为了防止篇幅过长，内容有所简略。

感觉 Burnside / Pólya 和群论关系并不大，所以单独拿出来作为一个分支，link。

• 参考文章：link

定义

定义一个集合 \(G\) 和一个作用于 \(G\) 上的运算符 \(*\) 构成的二元组 \((G, *)\) 为一个群（或者简写为 \(G\)），满足以下性质：

• 封闭性：\(\forall a, b\in G\)，\(a * b\in G\)。

• 结合律：\(\forall a, b, c\in G\)，\((a * b) * c = a * (b * c)\)。

• 单位元：存在单位元 \(e \in G\)，满足 \(\forall a\in G\)，\(a * e = e * a = a\)。

• 逆元：对于 \(G\) 中所有元素 \(a\) 都存在恰好一个 \(a ^ {-1} \in G\) 满足 \(a * a^{-1} = e\)

特别的，可能某些“群”并不满足以上性质，但仍被定义并被广泛应用：

• 半群：不存在单位元和逆元。

• 幺半群：不存在逆元。

如果一个群还满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群，否则称为非交换群或非阿尔贝群。

• 子群：若 \(H \subseteq G\) 且 \((H, *)\) 也是一个群，则称其为 \(G\) 的子群，可以记作 \(H\le G\)。

循环群

对于群 \(G\)：

• 群的阶：为集合的大小，即 \(|G|\)。

• 元素的阶：对于 \(a\in G\)，定义 \(a\) 的阶为最小的正整数 \(k\) 满足 \(a^k = e\)，若不存在则为 \(+\infty\)（必要条件为 \(|G|\) 无穷大）。当 \(G\) 为有限群时，\(k\) 必然存在，记为 \(\delta(a)\)。

• 生成子群：对于某个元素 \(a \in G\)，定义其生成子群 \(\langle a\rangle\) 的集合为 \(\{a, a^2, \dots, a^{\delta(a)}\}\)。

特别的，当 \(\langle a\rangle = G\) 时，称 \(G\) 为循环群，其中 \(a\) 为生成元。

比如对于质数 \(p\)，集合 \(\{1, 2, \dots, p - 1\}\) 与模意义下乘法构成了一个循环群。此时元素 \(a\) 的阶为 \(\delta_p(a)\)，所有满足 \(\delta_p(a) = p - 1\) 的元素 \(a\) 都可以作为生成元，即原根。

置换群

• 轮换：对于一个置换，若对于 \(i_1, i_2, \dots, i_k\) 有 \(p_{i_1} = i_2, p_{i_2} = i_3, \dots, p_{i_k} = i_1\) 则存在轮换 \((i_1, i_2, \dots, i_k)\)。

• 置换群：由若干个置换组成的群，运算 \(p * q\) 为两个置换的复合 \(q \circ p\)，即若 \(q \circ p = r\) 则有 \(r_i = q_{p_i}\)。

对于 \(n\) 个元素和对应的置换群 \(G\)，若 \(G\) 包含了所有可能的置换，则称 \(G\) 为对称群，简记为 \(S_n = G\)。

• 群同构：若群 \((G, *), (H, \cdot)\) 存在一个双向映射 \(f: G \to H\) 满足 \(\forall a, b \in G\)，\(f(a) \cdot f(b) = f(a * b)\)，则称 \(G\) 与 \(H\) 同构。

Cayley Theorem

• 任意一个有限群 \(H\) 都与至少一个置换群 \(G\) 同构。

Proof

考虑对于 \(H\) 直接构造一个与其同构的置换群 \(G\)。

设 \(h_1, h_2, \dots, h_n\) 为 \(H\) 中的元素，\(G\) 同理。

那么令 \(g_i = \dbinom {h_1, h_2, \dots h_n} {h_1h_i, h_2h_i, \dots h_nh_i}\)。

则群 \(G\) 显然满足条件。

商群

开始困难起来了。

• 陪集：对于 \(H\le G\)，那么对于任意 \(g\in G\)，定义 \(g\) 的左陪集为 \(gH = \{gh|h\in H\}\)，右陪集为 \(Hg = \{hg | h \in H\}\)。

• 正规子群：若所有 \(g\) 的左右陪集相同，即 \(gH = Hg\)，那么称 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群，记为 \(H \unlhd G\)。

• 集族：集合的集合。

对于 \(H\unlhd G\)，我们定义其商群 \(G / H\) 的集合为 \(\{gH | g\in G\}\)。注意，这里指的是所有集合 \(gH\) 组成的集族。

对于 \(g_1, g_2 \in G\)，接下来定义商群的运算符 \(\cdot\) 为 \((g_1H) \cdot (g_2H) = \{a*b | a\in g_1H, b\in g_2H\}\)。我们显然希望对于 \(g_1, g_2 \in G\) 有 \((g_1H) \cdot (g_2H) = (g_1*g_2) H\)，这样就可以满足群的性质了。

在正规子群的优美性质下，这是成立的。

Proof

• 充分性，即证明若 \(x\in (g_1H) \cdot (g_2H)\)，则 \(x\in (g_1*g_2)H\)。

设 \(x = g_1 * h_1 * g_2 * h_2\)。由正规子群的定义可得 \(h_1 * g_2 \in Hg = gH\)，不妨令 \(g_2 * h' = h_1 * g_2\)。

那么 \(x = g_1 * (h_1 * g_2) * h_2 = g_1 * g_2 * h' * h_2 = (g_1 * g_2) * (h' * h_2) \in (g_1 * g_2) H\)。证毕。

• 必要性，即证明若 \(x\in (g_1 * g_2) H\)，则 \(x\in (g_1H) \cdot (g_2H)\)。

设 \(x = g_1 * g_2 * h\)，那么 \(x = g_1 * e * g_2 * h = (g_1 * e) * (g_2 * h)\)。

由群的定义可得 \(e \in H\)。证毕。

• 商群的理解：我们可以视为通过陪集 \(gH\) 的“标准”将 \(G\) 中的元素划分为若干个等价类。

此外商群还有一些性质：

• 若 \(G\) 为循环群，则 \(G / H\) 也是循环群。

• 若 \(G\) 为交换群，则 \(G / H\) 也是交换群。

• \(\forall a\in G\) 且 \(\delta(a) < +\infty\)，则 \(\delta(a) | \delta(aH)\)。

还有两个显然的结论：\(G / G = \{e\}\)，\(G / \{e\} = G\)。

• 指数：为 \(G / H\) 的大小，即 \(|G / H|\)，记作 \([G: H]\)。

群同态

对于群 \((G, *), (H, \cdot)\)，若存在映射 \(f : G \to H\) 满足 \(f(a) \cdot f(b) = f(a * b)\)，那么称 \(G\) 同态于 \(H\)。

• 单同态：\(f\) 为单射。

• 满同态：\(f\) 为满射。

定义群同态的像 \(\text{im} (f) = \{f(a) | a \in G\}\)，群同态的核 \(\ker(f) = \{a | f(a) = e\}\)。

为了方便，令 \(N = \ker(f)\)。

• Lemma：\(\ker(f) \unlhd G\)

Proof

对于 \(a \in G, b \in N\)，有 \(f(a * b) = f(a) \cdot f(b) = f(a)\)。

令 \(c = a * b * a ^ {-1}\)，则 \(f(c) = f(a) \cdot f(b) \cdot f(a ^ {-1}) = e\)，即 \(c \in N\)。

且有 \(ab = ca\)，且 \(ab \in aN\)，\(ca \in Na\)，归纳可得 \(aN = Na\)。证毕。

这保证了 \(G / N\) 是良定义的。

• 群同态基本定理：若 \(f\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同态，\(G / N \cong \text{im(f)}\)。

Proof

我们构造双向映射 \(\varphi : G / N \to \text{im(f)}\)，满足 \(\forall a\in G\)，\(\varphi(aN) = f(a)\)。

• 映射合理性：即证明 \(\forall a, b\in G\)，若 \(aN = bN\) 则 \(f(a) = f(b)\)。在 \(aN = bN\) 两边左乘一个 \(a ^ {-1}\) 得到 \((a ^ {-1} * b) N = N\)。由群的性质可得 \(a ^ {-1} * b \in N\)，则 \(f(a ^ {-1} * b) = e\)。进而得到 \(f(a ^ {-1}) \cdot f(b) = f(a ^ {-1} * b) = e\)，所以 \(f(a) = f(b)\)。

• 是双向映射：由定义可得 \(\varphi\) 是满射。即证明对于两个 \(a, b \in G\)，若 \(aN \not = bN\) 则 \(f(a) \not = f(b)\)。由 \(aN \not = bN\) 可得 \(a ^ {-1} b N \not = N\)，即 \(a ^ {-1} b \not \in N\)，则 \(f(a ^ {-1}) \cdot f(b) = f(a ^ {-1} * b) \not = e\)，所以 \(f(a) \not = f(b)\)。

• 是同态：\(\varphi(aN) \cdot \varphi(bN) = f(a) \cdot f(b) = f(a * b) = \varphi((a * b) N) = \varphi((aN)(bN))\)。

证毕。