Burnside 引理和 Pólya 定理的证明

感觉这玩意和商群群同态完全没关系，是一个群论中的一个重要分支。

考虑 \(n\) 个点（避免与群中的元素混淆）以及作用于 \(n\) 个点上的置换群 \(G\)。

• 轨道：对于点 \(a\)，定义其轨道为 \(O(a) = \{g(a) | g \in G\}\)，其中 \(g(a)\) 为 \(a\) 通过置换 \(g\) 作用下轮换结果。

直观理解就是 \(a\) 通过所有置换的作用下能够到达的点的集合。

• 稳定子群：对于点 \(a\)，定义其稳定子群 \(G(a) = \{g | g \in G \land g(a) = a\}\)。
  可以证明 \(G(a)\) 一定是 \(G\) 的一个子群，且证明显然。

我们先来研究以下轨道的性质。

• 对于所有点 \(a\)，满足 \(a \in O(a)\)。这个比较显然，取 \(g = e\) 时成立。

• 对于两个点 \(a, b\)，满足 \(O(a)\) 和 \(O(b)\) 要么不交，要么相等。

第二条性质的证明

反证法，若 \(\exists p \in O(a)\)，\(p\in O(b)\) 且 \(\exists q \in O(a)\)，\(q \not\in O(b)\)。

设 \(g_1(a) = p, g_2(a) = q, g_3(b) = p\)，那么 \(g_3 * g_1 ^ {-1}(b) = a\)，进一步可得 \(g_3 * g_1 ^ {-1} * g_2(b) = q\)。

与原命题矛盾，证毕。

进一步的，我们可以按照轨道划分将 \(n\) 个点为若干个等价类 \(T_1, T_2, \dots, T_m\)，对于每个等价类 \(T_i\) 都有 \(\forall a\in T_i\)，\(O(a) = T_i\)。

• 轨道-稳定子定理：\(\forall a\)，\(|G(a)| = \dfrac {|G|} {O(a)}\)。

Proof

当 \(O(a) = \{a\}\) 时显然成立。否则，不妨令 \(b\) 为 \(O(a) \backslash \{a\}\) 中的任意一个元素。

令 \(H = \{g | g(a) = b\}\)。那么 \(\forall g\in G(a), h\in H\) 都有 \((g * h)(a) = b\)，所以 \(g * h\in H\)，进而可得 \(|G(a)| \le |H|\)。

同理，取任意一 \(h_0 \in H\)，那么 \(\forall h\in H\) 都有 \((h_0 * h ^ {-1})(a) = a\)，所以 \(h_0 * h ^ {-1} \in G(a)\)，进而可得 \(|H| \le |G(a)|\)。

所以，\(|G(a)| = |H|\)，进一步可得点 \(a\) 轮换到 \(O(a)\) 中的任意一点的置换数量都相等。

所以 \(|G(a)| = \dfrac {|G|} {O(a)}\)，证毕。

现在来统计以下所有点的稳定子群个数总和，即 \(\sum\limits_a |G(a)|\)。

对于等价类 \(T_i\)，其每个点的稳定子群大小都为 \(\dfrac {|G|} {|T_i|}\)，点数为 \(|T_i|\)，所以该等价类的答案总和为 \(|G|\)。

一共有 \(m\) 个等价类，那么答案即为 \(|G|m\)。

设 \(c(g) = \sum\limits_a [g(a) = a]\)，即通过 \(g\) 的作用后位置不动的点数。

那么 \(\sum\limits_{g \in G} c(g)\) 显然可以和 \(|G|m\) 画上等号。

• Burnside Lemma：\(m = \dfrac 1 {|G|} \sum\limits_{g \in G} c(g)\)。

直观解释就是轨道种类数等于平均不动点数。

如果给 \(n\) 个点染色，共 \(k\) 种颜色，每个点恰好染一种颜色。给定置换群 \(G\)，在置换作用下互相可达的染色方案本质相同，求有多少种本质不同染色方案数。

我们把每一种可能的染色方案看作“点”，把每个置换的作用改为“不同染色方案之间的轮换”。

比如我有 \(a, b, c\) 三个点，染成 \(0/1\) 两种颜色，其中三种方案为 \(A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)\)。

某一个置换包含轮换 \((a, b, c)\)，那么现在我们就把置换的作用改为轮换 \((A, B, C)\)。因为在原来置换的作用下，\(A\) 通过一次置换可以到达 \(B\)，\(B\) 通过一次置换可以到达 \(C\)，\(C\) 通过一次置换可以到达 \(A\)。

若对于某一种染色方案 \(t\)，通过置换可以到达 \(O(t)\)，那么 \(t\) 与 \(O(t)\) 中的所有方案是本质相同的。

所以我们要求的事实上就是轨道种类数（等价类数），可以套用 Burnside 引理。

答案为 \(m = \dfrac 1 {|G|} \sum\limits_{g \in G} c'(g)\)，其中 \(c'(g)\) 为置换 \(g\) 作用下染色方案不变的方案数（注意此时的置换 \(g\) 还是原来的定义）。

进一步展开，对于 \(g\) 中每个轮换中的点都应该染成相同的颜色，所以方案数只和轮换数有关。令 \(m(g)\) 为 \(g\) 的轮换数，那么 \(c'(g) = k^{m(g)}\)。

• Pólya Theorem：\(m = \dfrac 1 {|G|} \sum\limits_{g \in G} k ^ {m(g)}\)