2024.10.24 test

B

可以将一列的算式看成 $u\to v$ 的一条边，其中 $u$ 表示其所需要的进位，$v$ 表示其进位。
那么不难发现我们要求的是 $0,1,2$ 三个点，$0\to 0$ 的欧拉回路个数，其中最后一条边满足都不是 $0$。
考虑 best 定理，其中求生成树个数可以直接枚举树的形态，设生成树个数为 $T_0$。
考虑把最后一条边改为第一条边，将图反向即可，设第一条边能走的个数为 $s$。
设出度为 $o{d}_i$，最后答案就是是 $T_0\times s\times (o{d}_0-1)!\times (o{d}_1-1)!\times (o{d}_2-1)!$。

C

定义长度为 $n$ 的字符串是合法的，当且仅当存在一个长度为 $n$ 的合法括号序，满足匹配括号对应字符串中的字符相同。现在有一个长度为 $n$ 的字符集为 $\{a,b,c\}$ 的字符串 $s$，问有多少种交换两个不同位置上不同字符的方法，使得得到的字符串是一个合法的字符串。$n\le {10}^5$。

这个题牛。考虑给 $a,b,c$ 随机给一个 $2\times 2$ 矩阵，利用矩阵乘法的结合律处理括号匹配。
我们把作为左括号出现的赋 $a,b,c$，右括号的赋 $a^{-1},b^{-1},c^{-1}$，那么合法的情况就是顺序乘出来为 $I$。
考虑交换两个字符所带来的影响，交换 $l,r$ 无非就是将 $[l+1,r-1]$ 的 $1$ 变为 $-1$，$-1$ 变为 $1$。
所以预处理一些东西即可。