2024.10.22 test

A

有 \(n\) 透明胶片，其中有若干位置有字符；没有字符的部分是透明；构造一种叠放方式，使得从上往下看构成字符串 \(s\)。有字符的位置 \(\le 2e5\)。

这是一个拓扑序问题。考虑从上往下放，某个胶片能放的条件是其与 \(s\) 不同的位置已经都被放了。
那么考虑记 \(f_i\) 表示当前字符串 \(i\) 与 \(s\) 不同的位置个数，且没有被放。
每次取出 \(f_i=0\)，并把该位置设为已放。

B

有两个序列 \(A,B\)，你可以选 \(A,B\) 各一个长度相同的区间，使 \(C_i\) 为分别他们第 \(i\) 位的和。
求使得 \(C\) 回文最长的区间长度。\(n\le 1e5\)。

设长度为 \(len\)，\(C\) 回文，那么 \(C_1=C_{len}\) 通过移项转化为 \(A_1-A_n=B_n-B_1\).
相当于 \(A,B\) 从前往后从后往前各做一次 Hash，作差出来相等即可。
二分。如果对于一个中心二分答案，我们会浪费时间在查询是否存在某个 B 的区间等于当前哈希值。
因为只需要求出最大答案，考虑全部一起二分，也就是查询是否存在 A 的区间哈希等于 B 的区间即可。

C

\(1\sim n\) 的排列其中填进某几个数字，其他的任填，问最长上升子序列。\(n\le 1e5\)。

考虑设 \(f_i\) 表示 \(i\) 结尾的最长上升子序列，其中 \(i\) 是已填的数字。
设 \(sum_i\) 表示值域上 \([1,i]\) 有多少个空，\(num_i\) 表示序列上 \([1,i]\) 有多少个空，那么可以写出转移。
\(f_i=1+f_j+\min(sum_i-sum_j,num_i-num_j)\)，考虑把 \(i,j\) 分开。
移项得 \(f_i=1+f_j-num_j+sum_i+\min(-sum_j+num_j,num_i-sum_i)\)，其中 \(p_i>p_j\)。
这是一个三维偏序问题，考虑分治，合并的时候将 \(\min\) 里的排序，数据结构维护。