二项式反演的证明

对于

\[g(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i) \]

也就是说 \(f(n)\) 表示恰好选 \(n\) 个数构成某个结构的方案数，\(g(n)\) 表示从 \(n\) 个数里选出 \(\ge 0\) 个数构成这种结构的总方案数。
则

\[f(n)= \sum_{i = 0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]

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证明：
我们展开

\[\sum_{i = 0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]

得到

\[\begin{align*} &\sum_{i = 0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i)\\ =&\sum^n_{i = 0}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\sum^i_{j=0}\binom{i}{j}f(j) \\ =&\sum^n_{i = 0}\sum_{j = 0}^i(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}f(j) \\ =&\sum^n_{i = 0}\sum_{j = 0}^i(-1)^{n-i}\binom{n}{j}\binom{n - j}{n - i}f(j) \\ =&\sum^n_{j = 0}\sum_{i = j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{j}\binom{n - j}{n - i}f(j) \\ =&\sum^n_{j = 0}f(j)\binom{n}{j}\sum_{i = j}^n(-1)^{n-i}\binom{n - j}{n - i} \end{align*} \]

令 \(k = i - j\)，则原式

\[\begin{align*} =&\sum^n_{j = 0}f(j)\binom{n}{j}\sum_{k=0}^{n-j}(-1)^{n-k-j}\binom{n-j}{n - k-j} \\ =&\sum^n_{j = 0}f(j)\binom{n}{j}[j=n] \\ =&f(n) \end{align*} \]