欧拉定理

欧拉定理

设 \(a, n\in \mathbb{N}^*,a\perp n\)（\(a\) 与 \(n\) 互质），则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1(\operatorname{mod}n)\)。

证明：

取 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的 \(\varphi(n)\) 个数组成的集合 \(X = \{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}\)，将集合中的每一个数乘以 \(a\) 再模 \(n\)。

得到一些新的数 \(x_1' = ax_1\operatorname{mod} n, x_2' = ax_2\operatorname{mod} n,\cdots, x_{\varphi(n)}' = ax_{\varphi(n)}\operatorname{mod} n\)。

现在证明这些数互不相等。

使用反证法。若 \(x_i'\) 与 \(x_j'\) 相等，则 \(ax_i\equiv ax_j(\operatorname{mod} n)\)。

又因为 \(a\perp n\)，所以 \(x_i\equiv x_j(\operatorname{mod} n)\)，与 \(x_i\not=x_j\) 矛盾。

因此这些数互不相等。

所以这些数能组成集合 \(X' = \{x_1', x_2',\cdots, x_{\varphi(n)}'\}\)，且 \(X = X'\)。

又因为相等的集合中所有元素的乘积相等。

所以 \(x_1'x_2'\cdots x_{\varphi(n)}' = x_1x_2\cdots x_{\varphi(n)}\)。

即 \(a^{\varphi(n)}x_1x_2\cdots x_n\equiv x_1x_2\cdots x_n(\operatorname{mod} n)\)。

因为 \(x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\) 都与 \(n\) 互质，所以 \(x_1x_2\cdots x_n\) 与 \(n\) 互质。

所以 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1(\operatorname{mod} n)\)。

扩展欧拉定理

设 \(a, n\in\mathbb{N}^*\)，则 \(a^{2\varphi(n)}\equiv a^{\varphi(n)}(\operatorname{mod} n)\)。

这是一个比欧拉定理更强的结论，但是由于我能力有限，这里就不展开论述了。