一元二次方程难题1

已知方程 \(ax^2 + bx + c = x\)（\(a > 0\)）的两个实数根 \(x_1,x_2\) 满足 \(0 < x_1 < x_2 < \dfrac{1}{a}\)。当 \(0 < x < x_1\) 时，证明：\(x < ax^2 + bx + c < x_1\)。

证明：原方程等价于 \(ax^2 + (b - 1)x + c = 0\)。

因为 \(a > 0\)，所以二次函数 \(y = ax^2 + (b - 1)x + c\) 开口向上。

又因为 \(x_1, x_2\) 为原方程的两个根，且 \(x1 < x2\)，所以该二次函数的图像如下：

因此，当 \(x < x1\) 时，\(y = ax^2 + (b - 1)x + c > 0 \Leftrightarrow ax^2 + bx - x + c > 0 \Leftrightarrow ax^2 + bx + c > x\)。

又因为 \(x > 0\) 且 \(x < x_1\)，所以 \(ax^2 + bx + c < ax_1^2 + bx_1 + c\)。

由韦达定理知，原方程的根 \(x_1, x_2\) 满足：

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b - 1}{a} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases} \]

所以将 \(x_1 < x_2 < \dfrac{1}{a}\) 变形。

\[\begin{align} 2x_1 & < x_1 + x_2 < \dfrac{1}{a} \\ 2x_1 & < -\dfrac{b - 1}{a} < \dfrac{1}{a} \\ 2ax_1 & < -b + 1 < 1 \\ 0 & < b < 1 - 2ax_1 \end{align} \]

所以 \(ax_1^2 + bx_1 + c < ax_1^2 + (1 - 2ax_1)x_1 + c = x_1 - ax_1^2 + c\)。

又因为 \(x_1 < \dfrac{1}{a}\)，所以 \(x_1 - ax_1^2 + c < x_1 - a \cdot (\dfrac{1}{a})^2 + c = x_1 - \dfrac{1}{a} + c\)

因为 \(0 < x1 < x2\)，所以 \(x1 + x2 > 0\)。

所以 \(-\dfrac{b - 1}{a} > 0 \Leftrightarrow -b + 1 > 0 \Leftrightarrow b < 1\)。

所以 \(0 < b < 1 \Leftrightarrow -1 < b - 1 < 0 \Leftrightarrow 0 < (b - 1)^2 < 1 < 4\)

考虑原方程的根的情况，题目说 \(x_1 < x_2\)，表明有两个不相等的实根。

因此 \(\Delta = (b - 1)^2 - 4ac > 0 \Leftrightarrow c < \dfrac{(b - 1)^2}{4a} < \dfrac{4}{4a} = \dfrac{1}{a} \Leftrightarrow c - \dfrac{1}{a} < 0\)。

因此 \(x_1 + c - \dfrac{1}{a} < x_1\)。

得证。