双十字相乘

二元二次式的分解!!!

引例

\(x^2 + 2xy - 3y^2 + 3x + y + 2\)
注意到,这个式子可以分出三个十字相乘出来.
即 \(x^2 + 2xy - 3y^2,x^2 + 3x + 2,-3y^2 + y + 2\) .
利用十字相乘的画法,分别得到:

我们把它们调整,再组合一下,得到:

于是,原式 \(=(x - y + 1)(x + 3y + 2)\)

主要思想

~~-简单-~~来说,就是对于多项式 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f\) ,将 \(a\) 表示为 \(a_1 \cdot a_2\) ,将 \(c\) 表示为 \(c_1 \cdot c_2\) ,将 \(f\) 表示为 \(f_1 \cdot f_2\) .使得 \(a_1c_2 + a_2c_1 = b, c_1f_2 + c_2f_1 = e, a_1f_2 + a_2f_1 = d\) .
即

则,原式 \(=(a_1x + c_1y + f_1)(a_2x + c_2y + f_2)\) .

题

\(x^2 + 2xy - 3y^2 + 3x + y + 2\)

于是,原式 \(=(x + 3y + 2)(x - y + 1)\) .

\(6x^2 - 5xy - 6y^2 + 2x + 23y - 20\)

这道题系数有点大,不着急慢慢试.

于是,原式 \(=(3x + 2y - 5)(2x - 3y + 4)\) .

\(x^2 - 6xy + 9y^2 - 5xz + 15yz + 6z^2\)

这道题虽然多了个 \(z\) ,但我们可以先忽略他,得到 \(x^2 - 6xy + 9y^2 - 5x + 15y + 6\) .将这个多项式进行分解,得到 \((x - 3y - 2)(x - 3y - 3)\) ,再将 \(z\) 带进去,得到 \((x - 3y - 2z)(x - 3y - 3z)\) .
这道题还有一个简便的做法:注意到 \(x^2 - 6xy + 9y^2\) 是完全平方式,于是,原式 \(=(x - 3y)^2 - 5(x - 3y)z + 6z^2=(x - 3y - 2z)(x - 3y - 3z)\) .

已知: \(a,b,c\) 为三角形的三条边,且 \(a^2 + 4ac + 3c^2 - 3ab - 7bc + 2b^2 = 0\) ,求证: \(2b = a + c\) .

证明:由题意得, \((a - 2b + c)(a + 3c - b) = 0\) .
又 \(\because a + c > b\) .
\(\therefore a + 3c > b\) .
\(\therefore a + 3c - b > 0\) .
\(\therefore a - 2b + c = 0\) .
\(\therefore 2b = a + c\) .

\(x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 4y\)

这道题缺一个常数项,不妨我们给它补上,得
\(x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 4y + 0\)

因为 \(0\) 乘上任何一个数都等于 \(0\) .所以常数项我们可以分解为 \(0\) 乘上任意一个数.

于是,原式 \(=(x + y + 2)(x + 2y)\)