拆添项法

主要思想

把多项式中的一项拆成多项,来满足分解的要求.
有时使用试根的方法来帮助分解.

题

\(x^4 - 4x + 3\)

解法 \(1\) :
先通过试根,确定 \(x^4 - 4x + 3 = 0\) 有一个根为 \(x = 1\) .
于是, \(x - 1\) 为原多项式的一个因式.
所以，我们进行拆添项的时候要将原式改写为几个带 \((x - 1)\) 因式的式子相加.
所以,原式 \(=x^4 + 0\cdot x^3 + 0\cdot x^2 - 4x + 3\)
\(=x^4 - x^3 + x^3 - x^2 + x^2 - x - 3x + 3\)
\(=x^3(x - 1) + x^2(x - 1) + x(x - 1) - 3(x - 1)\)
\(=(x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)\)
再通过试根,确定 \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\) 有一个根为 \(x = 1\) .
于是, \(x - 1\) 为右面因式的一个因式.
继续将右面的因式分解.
\(x^3 + x^2 + x - 3\)
\(=x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + 3x - 3\)
\(=x^2(x - 1) + 2x(x - 1) + 3(x - 1)\)
\(=(x - 1)(x^2 + 2x + 3)\)
于是,一开始的式子 \(=(x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)\)
解法 \(2\) :
当然,这道题没必要这么麻烦.
观察中间的项: \(-4x\) .
恰好可以拆成 \(-x - 3x\) .
而他的前一项与后一项又恰为 \(x^4\) 和 \(3x\) .
这便启发我们将原式写成 \(x^4 - x - 3x + 3\) .
显然能够分解.
于是,原式 \(=x(x^3 - 1) - 3(x - 1)\)
\(=x(x - 1)(x^2 + x + 1) - 3(x - 1)\)
\(=(x - 1)(x^3 + x^2 + x) - 3(x - 1)\)
\(=(x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)\)
再进行试根.
最终分解原式为 \((x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)\) .

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\(a^3 + 3a^2 + 3a + b^3 + 3b^2 + 3b + 2\)

看到了原式的系数,容易想到 \((x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) .
原式可以分为 \(a^3 + 3a^2 + 3a,b^3 + 3b^2 + 3b + 2,2\) 三个部分.
恰好,常数项是 \(2 = 1 + 1\) .
于是,原式可以写成 \(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + b^3 + 3b^2 + 3b + 1\)
\(=(a + 1)^3 + (b + 1)^3\) .
利用立方和公式( \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) ).
因此,原式 \(=(a + b + 2)\left[(a + 1)^2 - (a + 1)(b + 1) + (b + 1)^2\right]\)
进一步化简,可得
原式 \(=(a + b + 2)(a^2 - ab + b^2 + a + b + 1)\)

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\(a^4 + a^2b^2 + b^4\)

\(=(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2\)
\(=(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2\)
\(=(a^2 - ab + a^2)(a^2 + ab + b^2)\)

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\(-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2\)

凑三个字母的完全平方.
\(=-(a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 + 2b^2c^2 - 2a^2c^2) + 4b^2c^2\)
\(=(2bc)^2 - (a^2 - b^2 - c^2)^2\)
\(=(2bc + a^2 - b^2 - c^2)(2bc - a^2 + b^2 + c^2)\)
\(=\left[a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)\right]\left[(b^2 + 2bc + c^2) - a^2\right]\)
\(=\left[a^2 - (b - c)^2\right]\left[(b + c)^2 - a^2\right]\)
\(=(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)\)