分组分解

恋人从挥手 到牵手 到放手 到挥手 就该足够
—— 林俊杰《愿与愁》

主要思想

将对整个分解结果没有贡献的组合拆开,寻找能够使整个多项式分解完全的组合方式.
对每个组进行分解,再将整个多项式分解.

题

\(xy - x - y + 1\)

显然,将前面两项组合可得: \(x(y - 1)\) .
将后面两项组合可得: \(-(y - 1)\) .
显然,两组有一个公因式 \((y - 1)\) .
于是,原式 \(=x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)\)

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\(xy + x + y + 1\)

与上面的差不多,请分解后自对答案.

点击查看答案

$=x(y + 1) + (y + 1) = (x + 1)(y + 1)$

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\(ax - ay + bx + cy - cx - by\)

\(=ax - ay + bx - by - cx + cy\)
\(=a(x - y) + b(x - y) - c(x - y)\)
\(=(a + b - c)(x - y)\)
上面这个例子演示了将原式重新排列组合后再进行分解的过程.

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\(-1 - 2x - x^2 + y^2\)

\(=-(x^2 + 2x + 1) + y^2\)
\(=y^2 - (x - 1)^2\)
\(=(y + x - 1)(y - x + 1)\)

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\(ab(c^2 - d^2) - (a^2 - b^2)cd\)

\(=abc^2 - abd^2 - a^2cd + b^2cd\)
\(=abc^2 - a^2cd + b^2cd - abd^2\)
\(=ac(bc - ad) + bd(bc - ad)\)
\(=(ac + bd)(bc - ad)\)

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\((a + b)^2 + (a + c)^2 - (c + d)^2 - (b + d)^2\)

\(=(a + b)^2 - (c + d)^2 + (a + c)^2 - (b + d)^2\)
\(=(a + b + c + d)(a + b - c - d) + (a + b + c + d)(a + c - b - d)\)
\(=2(a - d)(a + b + c + d)\)

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\((a + b)^3 + (b + c)^3 + (a + c)^3 + a^3 + b^3 + c^3\)

观察到, \((a + b)^3 + c^3 = (a + b + c)\left[(a + b)^2 - c(a + b) + c^2\right]\) ;
\((b + c)^3 + a^3 = (a + b + c)\left[(b + c)^2 - a(b + c) + a^2\right]\) ;
\((a + c)^3 + b^3 = (a + b + c)\left[(a + c)^2 - b(a + c) + b^2\right]\) .
于是,原式
\(=(a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 + b^2 + 2bc + c^2 - ab - ac + a^2 + a^2 + 2ac + c^2 - ab - bc + b^2)\)
进一步化简,可得
原式 \(=3(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)\)