应用公式

可爱的公式们

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)
\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3\)
\(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3\)
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)^2\)

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下面两个式子在某些情况下是不完全分解.
\(a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + \cdots + b^{n - 1})\)
当 \(n\) 为正奇数时,有
\(a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - \cdots + b^{n - 1})\)

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二项式定理
\((a + b)^n = a^n + C^1_na^{n - 1}b + C^2_na^{n - 2}b^2 + \cdots + C^{n - 1}_nab^{n - 1} + b^n\)
注:这是多项式乘法,不是因式分解

题

\(9(m - n)^2 - 4(m + n)^2\)

\(=[3(m - n)]^2 - [2(m + n)]^2\)
\(=[3(m - n) + 2(m + n)][3(m - n) - 2(m + n)]\)
\(=(5m - n)(m - 5n)\)

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\(-(3a^2 - 5b^2)^2 + (5a^2 - 3b^2)^2\)

\(=(5a^2 - 3b^2)^2 - (3a^2 - 5b^2)^2\)
\(=(5a^2 - 3b^2 + 3a^2 - 5b^2)[5a^2 - 3b^2 - (3a^2 - 5b^2)]\)
\(=(8a^2 - 8b^2)(2a^2 + 2b^2)\)
\(=16(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\)

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\(a^6 + b^6\)

\(=(a^2)^3 + (b^2)^3\)
\(=(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)\)

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\(9x^2 - 24xy + 16y^2\)

\(=(3x)^2 - 2\cdot 3x\cdot 4y + (4y)^2\)
\(=(3x - 4y)^2\)

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\(8a - 4a^2 - 4\)

\(=-4(a^2 - 2a + 1)\)
\(=-4(a - 1)^2\)

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\(4a^2 + 9b^2 + 9c^2 - 18bc - 12ac + 12ab\)

\(=4a^2 + 9b^2 + 9c^2 + 12ab - 18bc - 12ac\)
\(=(-2a)^2 + (-3b)^2 + (3c)^2 + 2\cdot (-2a)\cdot (-3b) + 2 \cdot (-3b)\cdot 3c + 2\cdot (-2a)\cdot 3c\)
\(=(-2a - 3b + 3c)^2\)
\(=(2a + 3b - 3c)^2\)

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\(8x^3 + 27y^3 + 36x^2y + 54xy^2\)

\(=8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27x^3\)
\(=(2x)^3 + 3\cdot (2x)^2\cdot 3y + 3\cdot 2x\cdot (3y)^2 + (3y)^3\)

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\(a^6 - b^6\)

解法一:
\(=(a^2)^3 - (b^2)^3\)
\(=(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)\)
\(=(a - b)(a + b)[(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - (ab)^2]\)
\(=(a - b)(a + b)[(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2]\)
\(=(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)\)
解法二:
\(=(a^3)^2 - (b^3)^2\)
\(=(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)\)
\(=(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(=(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)\)

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求证: \(2^{1984} + 1\) 不是质数.

令 \(t = 2^{64}\) .
所以 \(2^{1984} + 1 = t^{31} + 1\)
\(=t^{31} + 1^{31}\)
\(=(t + 1)(t^{30} - t^{29} + \dots - t + 1)\)
因为 \(t + 1 = 2^{64} + 1 \not= 1,n\)
所以 \(2^{1984} + 1\) 不是质数.