待定系数法

主要讨论的是整系数的四次多项式

一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式的乘积,那么一定也能分解为两个整系数的因式的积.所以,我们只需要讨论它有无整系数的因式就可以了.

二次因式

因式分解: \(x^4 + x^3 + 2x^2 - x + 3\) .

解

先通过试根,确定原式没有有理根 \(\Rightarrow\) 原式没有(有理系数的)一次因式.
不妨我们令原式

\[=(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

于是,拆开得原式 \(=x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd\) .
所以

\[\begin{cases} a + c = 1 \\ ac + b + d = 2 \\ ad + bc = -1 \\ bd = 3 \end{cases} \]

因为 \(b,d\) 是整数,
所以,从第四个式子得,只有

\[\begin{cases} b = 1 \\ d = 3 \end{cases} \ 或 \begin{cases} b = -1 \\ d = -3 \end{cases} \ 或 \begin{cases} b = 3 \\ d = 1 \end{cases} \ 或 \begin{cases} b = -3 \\ d = -1 \end{cases} \]

这几种情况.

由于本题中的因式的次序无关紧要,所以可以认为只有

\[\begin{cases} b = 1 \\ d = 3 \end{cases} \ 或 \begin{cases} b = -1 \\ d = -3 \end{cases} \]

这两种情况.

再带入,求值,检验,可得

\[\begin{cases} a = -1 \\ b = 1 \\ c = 2 \\ d = 3 \end{cases} \]

于是，原式

\[=(x^2 - x + 1)(x^2 + 2x + 3) \]

既约(无法分解)的情况

判断: \(x^6 + x^3 - 1\) 能否分解为两个整系数三次因式的积?

解

设原式 \(=(x^3 + ax^2 + bx + 1)(x^3 + cx^2 + dx - 1)\)
所以

\[\begin{cases} a + c = 0 \\ ad + bc = 1 \\ d - b = 0 \end{cases} \]

所以 \(c = -a,d = b\)
带入第二个方程,得 \(ab - ab = 1\)
矛盾.
所以 \(x^6 + x^3 - 1\) 不可能分解为两个整系数的三次因式的积