【多重背包 二进制优化版】洛谷 P1776 宝物筛选

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P1776

题解

对于朴素版多重背包（参考： https://www.cnblogs.com/RomanLin/p/22864579 ），时间复杂度为：\(O(nm \sum_{i=1}^{n}{w_i})\)。对于当前题目的数据范围来说会达到 \(4e10\) 这个数量级，显然不能接受。

假设第 \(i\) 种物品有 \(w_i\) 件，是否存在一种快速计算的办法维护（时间复杂度要尽可能小于 \(O(w_i)\)）出选 \(1，2，3,...，w_i\) 件的所有方案时候对答案的影响呢？答案是有的。可以将 \(w_i\) 件第 \(i\) 种物品，拆分成 \(1,2,4,8,...,w_i-2^k+1\) 件物品，只需要维护这 \(k\) 份物品，就可以维护出选 \(1,2,...,w_i\) 所有方案对答案的影响。

问题来了，最后一项的 \(w_i-2^k+1\) 是怎么来的呢？又为什么拆分成 \(1,2,4,8,...,w_i-2^k+1\) 件就可以维护出选取 \(1,2,3,...,w_i\) 件的所有方案呢？

首先不妨先不看最后一项，此时存在等比数列：$$1,2,4,8,...,2^{k-1}$$
由前 \(n\) 项和公式，有：

\[\begin{aligned} S_n &= \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1-q} \\ &= \frac{1 \cdot (1 - 2^n)}{1 - 2} \\ &= \frac{1 - 2^n}{-1} \\ &= 2^n - 1 \end{aligned} \]

因此最后一项就是：\(w_i-2^k+1\)。

对于选取 \(1,2,3,...,2^k-1\) 件的任意方案，根据二进制数的性质，我们一定能通过选取 \(1, 2, 4, ..., 2^{k-1}\) 中的某几个数来凑成。

对于大于 \(2^k-1\) 件的任意方案，因为 \(w_i-2^k+1 < 2^k\)，所以选取的数量 \(x\) 一定是小于 \(2^(k+1)\) 的。那么想要选取任意一种数量 \(x\) 大于 \(2^k-1\) 件的方案，只需要先选取出 \(y=min(w_i-2^k+1, x)\) 件，易知 \(x - y \leq 2^k-1\) 恒成立，那么又可以通过在前面的 \(1, 2, 4, ..., 2^{k-1}\) 件中选中某几个数，就可以凑出 \(x\)。

那么最终就可以得到代码思路：先用二进制拆分每一种的物品的数量，分别拆分为 \(1, 2, 4, ..., w_i-2^k+1\) 件物品，每一份又可以视为一个独立的物品，价值分别为 \(1 \times u_i，2 \times u_i，4 \times u_i，...，(w_i-2^k+1) \times u_i\)，体积分别为 \(1 \times v_i，2 \times v_i，4 \times v_i，...，(w_i-2^k+1) \times v_i\)。然后每一份物品分别进行 0-1 背包，即可维护出最后的答案。

时间复杂度：\(O(nm \cdot logU)\)
空间复杂度：\(O(m)\)

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
    int n, m, u, v, w;
    cin >> n >> m;
    vector<int> dp(m + 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        cin >> u >> v >> w;// 价值 体积 数量
        // 二进制拆分
        for (int k = 1; w > 0; k <<= 1) {
            int take = min(k, w);
            w -= take;
            int cost = take * v;
            int val = take * u;
            
            // 0/1背包：逆序更新
            for (int j = m; j >= cost; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost] + val);
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << '\n';
    return 0;
}