【多重背包 朴素版】洛谷 B2173 多重背包

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/B2173

题解

对于 0-1 背包：第 \(i\) 种物品可以选 0, 1 件；

对于多重背包：第 \(i\) 种物品可以选 0, 1, 2, ..., \(w_i\) 件；

将多重背包转化为 0-1 背包求解：把第 \(i\) 件物品转化为 \(w_i\) 件 0-1 背包种的物品，每件物品的体积为 \(k \times u_i\)，价值为 \(k \times v_i\)。

时间复杂度：\(O(nm \sum_{i=1}^{n}{w_i})\)
空间复杂度：\(O(m)\)

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
    int n, m, u, v, w;
    cin >> n >> m;
    vector<int> dp(m + 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        cin >> u >> v >> w;// 体积、价值、数量
        for (int j = m; j >= u; -- j) {// 从大到小枚举剩余背包容量（必须从大到小，否则会变为完全背包）
            for (int k = 1; k <= w && k * u <= j; ++ k) {// 将多重背包转化为 0-1 背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * u] + k * v);// 动态转移
            }
        }
    }
    cout << dp[m];// 输出用体积 m 的背包最多能获取的总价值
    return 0;
}