随笔分类 -  MO / 数论 / 专题/杂题

组合数论
摘要：例1 给定正整数 \(n\ge 2\) 。求最小的正整数 \(m\) ，满足：对任意 \(m\) 个不被 \(n\) 整除的整数，总能从中选出一些数，使得它们的和是 \(n\) 的倍数，但不是 \(n^2\) 的倍数。 答案是 \(m=2n-1\) ， \(m=2n-2\) 存在反例 \(1,1,. 阅读全文
posted @ 2024-09-04 20:15 ATTLAS 阅读(71) 评论(0) 推荐(0)
数论杂题
摘要：UPD on 2025.7.8：更改了一些表述，修正了一些错误。 这篇笔记收录了一些比较难归类（我不会）的数论杂题。 例1 \(A\subset Z\) 是无限集，证明：存在 \(A\) 的 \(2p-2\) 元子集 \(B\) ，使得 \(B\) 中任 \(p\) 个元素的算术平均值不属于 \(A 阅读全文
posted @ 2024-08-11 22:57 ATTLAS 阅读(131) 评论(0) 推荐(0)
数论构造
摘要：UPD on 2025.7.8 ：更改了一些表述，修正了一些错误 数论构造还是相当玄学的版块，经常出现什么都没学的萌新能做出来但是数论较好的人卡题的现象…… 其他的笔记已经记录了一些专题类的构造，这里更多是记录一些综合性的/莫名其妙的构造。 数论构造除了用其它定理（ \(CRT\) ，欧拉定理之类的 阅读全文
posted @ 2024-07-29 12:59 ATTLAS 阅读(139) 评论(0) 推荐(0)
母函数与高斯和
摘要：UPD on 2025.8.1：添加了介绍部分，修改了证明表述 前置知识：单位根 （为了偷懒，基本将所有的 \(\omega\) 都写成了 \(w\) ） CP1 定义数列 \(\{a_n\}\) 的普通母函数 \(G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\) ，指数型母函数 \(G(x)= 阅读全文
posted @ 2024-07-18 12:55 ATTLAS 阅读(57) 评论(0) 推荐(0)
素因子幂次的控制
摘要：UPD on 2025.7.31：修正了一些错误 通过 \(CRT\) ，同余等方法控制素因子幂次是一种重要的思想 CP1 下面例题中，关键是 \(v_p\) 的性质：\(v_p(a\pm b)\ge min(v_p(a),v_p(b))\) ，取等当且仅当 \(v_p(a)\ne v_p(b)\) 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:20 ATTLAS 阅读(82) 评论(0) 推荐(0)
组合数(数论)
摘要：UPD on 2025.7.30：补充了一些说明，使证明更加容易理解 下面给出了关于组合数素因子幂次的基本性质： （勒让德公式） \(v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty[\frac n{p^i}]\) 这里对 \(1-n\) 内 \(p\) 的倍数统计一次贡献，再对 \ 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:20 ATTLAS 阅读(489) 评论(0) 推荐(0)
平方和
摘要：UPD on 2025.7.30：补充说明 定理 \(1\) ：任何素数 \(p\equiv 1\:(mod~4)\) 可以表示为两个正整数的平方和。 证明：对这样的 \(p\) ，存在 \(t^2\equiv -1\:(mod~p)\) （其中 \(t=(\frac{p-1}2)!\) ），只要找 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:20 ATTLAS 阅读(281) 评论(0) 推荐(0)
素数
摘要：一个不小于 \(2\) 的整数是素数，当且仅当它没有除了 \(1\) 与自身以外的因子 素数最关键的性质是 \(p\mid ab=>p\mid a 或 p\mid b\) 算术基本定理：任意正整数 \(n>1\) 可以唯一写成素数的乘积，一般记作 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\al 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:14 ATTLAS 阅读(309) 评论(0) 推荐(0)