随笔分类 - MO / 数论
摘要：例1 给定正整数 \(n\ge 2\) 。求最小的正整数 \(m\) ，满足：对任意 \(m\) 个不被 \(n\) 整除的整数，总能从中选出一些数，使得它们的和是 \(n\) 的倍数，但不是 \(n^2\) 的倍数。 答案是 \(m=2n-1\) ， \(m=2n-2\) 存在反例 \(1,1,.
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摘要：UPD on 2025.7.8：更改了一些表述，修正了一些错误。 这篇笔记收录了一些比较难归类（我不会）的数论杂题。 例1 \(A\subset Z\) 是无限集，证明：存在 \(A\) 的 \(2p-2\) 元子集 \(B\) ，使得 \(B\) 中任 \(p\) 个元素的算术平均值不属于 \(A
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摘要：UPD on 2025.7.8 ：更改了一些表述，修正了一些错误 数论构造还是相当玄学的版块，经常出现什么都没学的萌新能做出来但是数论较好的人卡题的现象…… 其他的笔记已经记录了一些专题类的构造，这里更多是记录一些综合性的/莫名其妙的构造。 数论构造除了用其它定理（ \(CRT\) ，欧拉定理之类的
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摘要：UPD on 2025.7.11：更正了一些错误。 欧拉定理：对 \(\forall a,b\) 满足 \((a,b)=1\)， 有 \(a^{\varphi(b)}\equiv 1\: (mod ~b)\) 证明：由简化剩余系的基本性质易得 \(a_0a_1...a_{\varphi(m)-1}\
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摘要：CP3 众所周知的技巧：利用韦达定理构造多项式 例1 设 \(a,b,c,d,e,f\) 是正整数，使得 \(S=a+b+c+d+e+f\) 整除 \(ab+bc+ca-de-ef-df\) 和 \(abc+def\) ，求证： \(S\) 是合数。 假设 \(S\) 是素数，我们看到： \(a+b
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摘要：UPD on 2025.8.1：添加了介绍部分，修改了证明表述 前置知识：单位根 （为了偷懒，基本将所有的 \(\omega\) 都写成了 \(w\) ） CP1 定义数列 \(\{a_n\}\) 的普通母函数 \(G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\) ，指数型母函数 \(G(x)=
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摘要：UPD on 2025.7.30：补充说明 定理 \(1\) ：任何素数 \(p\equiv 1\:(mod~4)\) 可以表示为两个正整数的平方和。 证明：对这样的 \(p\) ，存在 \(t^2\equiv -1\:(mod~p)\) （其中 \(t=(\frac{p-1}2)!\) ），只要找
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摘要：UPD on 2025.7.30：补充了一些说明，使证明更加容易理解 下面给出了关于组合数素因子幂次的基本性质： （勒让德公式） \(v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty[\frac n{p^i}]\) 这里对 \(1-n\) 内 \(p\) 的倍数统计一次贡献，再对 \
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摘要：UPD on 2025.7.31：修正了一些错误 通过 \(CRT\) ，同余等方法控制素因子幂次是一种重要的思想 CP1 下面例题中，关键是 \(v_p\) 的性质：\(v_p(a\pm b)\ge min(v_p(a),v_p(b))\) ，取等当且仅当 \(v_p(a)\ne v_p(b)\)
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摘要：UPD on 2025.7.30：修正了很多错误（我发现好多 \(p=2\) 的讨论都漏了！大家用二次剩余一定要小心 \(2\) ，很多结论对它无效） 二次剩余：若 \((m,n)=1,m>1\) ，满足 \(\exists x\in Z,x^2\equiv n\:(mod~m)\) ，则称 \(n
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摘要：UPD on 2025.8.6：补充说明 设 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}\) ，有如下常见的数论函数： \(\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d\) ，表示 \(n\) 的因子之和，另一个表达式是 \
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摘要：UPD on 2025.8.6：补充说明 数论函数：\(f:\mathbb{Z}^*\rightarrow C\) 积性函数：对任意 \((m,n)=1\) 满足 \(f(mn)=f(m)f(n)\) 的函数 完全积性函数：对任意 \(m,n\) 满足 \(f(mn)=f(m)f(n)\) 的函数
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摘要：欧拉函数 \(\varphi (n)\) 是指区间 \([1,n)\) 内与 \(n\) 互素的数的个数 欧拉函数具有如下性质： \(\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n\) 最简单的想法是：将有理数 \(\frac 1n,\frac2n,\frac 3n,...,\f
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摘要：一个不小于 \(2\) 的整数是素数，当且仅当它没有除了 \(1\) 与自身以外的因子 素数最关键的性质是 \(p\mid ab=>p\mid a 或 p\mid b\) 算术基本定理：任意正整数 \(n>1\) 可以唯一写成素数的乘积，一般记作 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\al
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摘要：CP3 一些大小估计类问题 经典的估计是 \((a,b)\le a-b,[a,b]\ge \frac {ab}{a-b}\) ，从而 \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{[a_k,a_{k+1}]}\le 1-\frac 1{2^n}\) （归纳，分类 \(a_n<2^n,a_n\g
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摘要：最小公约数 \((a,b)\) 即满足 \(d\mid a,d\mid b\) 的最大 \(d\) 最大公倍数 \([a,b]\) 即满足 \(a\mid d,b\mid d\) 的最小 \(d\) 若 \((a,b)=1\) 称 \(a,b\) 两数互素 重要结论： \((a,b)[a,b]=ab
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摘要：对互素的 \(i,n\) 引入 \(\frac 1i\:(mod~n)\) 表示 \(i^{-1}\:(mod~n)\) ，读者不难验证 \(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\equiv \frac{bc+ad}{ac}\:(mod~n)\) 等加减乘除性质，以及 \(a\equiv
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摘要：UPD on 2025.8.1：修改了一些表述 不定方程的通用方法通常有不等式，同余，因式分解，分析素因子幂次。 同余方法 同余方法中很重要的一块是二次剩余 还有很多不定方程利用模素数及素数性质分析，常用的性质是 \(a^2+ab+b^2\) 的素因子模 \(3\) 余 \(1\) ， \(a^2+
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摘要：以下介绍了几种有一定用处的方法，不过都是十几年前常考的东西了。 韦达跳跃法 例1 是否存在正整数 \(m\) ，使得 \(\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z+\frac 1{xyz}=\frac m{x+y+z}\) 有无穷组正整数解 代入 \((x,y,z)=(1,1,1)\)
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摘要：UPD on 2025.8.2：修正了一些错误 对 \(D\in N^*\) 且 \(D\) 不为完全平方数，方程 \(x^2-Dy^2=1\) 有无穷组解 其中设 \(x+\sqrt D y\) 最小的一组为 \((x_0,y_0)\) （该解称为基本解），则方程 \(x^2-Dy^2=1\) 的
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