随笔分类 -  MO / 数论 / 同余理论

欧拉定理
摘要：UPD on 2025.7.11：更正了一些错误。 欧拉定理：对 \(\forall a,b\) 满足 \((a,b)=1\)， 有 \(a^{\varphi(b)}\equiv 1\: (mod ~b)\) 证明：由简化剩余系的基本性质易得 \(a_0a_1...a_{\varphi(m)-1}\ 阅读全文
posted @ 2024-07-18 22:00 ATTLAS 阅读(115) 评论(0) 推荐(0)
二次剩余
摘要：UPD on 2025.7.30：修正了很多错误（我发现好多 \(p=2\) 的讨论都漏了！大家用二次剩余一定要小心 \(2\) ，很多结论对它无效） 二次剩余：若 \((m,n)=1,m>1\) ，满足 \(\exists x\in Z,x^2\equiv n\:(mod~m)\) ，则称 \(n 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:18 ATTLAS 阅读(276) 评论(0) 推荐(0)
分数同余与组合数同余
摘要：对互素的 \(i,n\) 引入 \(\frac 1i\:(mod~n)\) 表示 \(i^{-1}\:(mod~n)\) ，读者不难验证 \(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\equiv \frac{bc+ad}{ac}\:(mod~n)\) 等加减乘除性质，以及 \(a\equiv 阅读全文
posted @ 2024-07-18 10:58 ATTLAS 阅读(159) 评论(0) 推荐(0)
阶
摘要：定义：对 \((a,n)=1\) ，则满足 \(a^m\equiv 1 \:(mod~n)\) 的最小正整数 \(m\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\delta_n(a)\) 以下引用阶符号时默认 \((a,n)\) 互质 由欧拉定理，阶的存在性是显然的，下面给出几条阶的性质 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27 ATTLAS 阅读(168) 评论(0) 推荐(0)
原根
摘要：定义：称满足 \(\delta_n(a)=\varphi(n)\) 的 \(a\) 为模 \(n\) 的原根 性质： \(g,g^2,...,g^{\varphi(n)}\) 构成模 \(n\) 的简系 当且仅当存在奇素数 \(p\) 及整数 \(\alpha\) 使得 \(n\in\{p^\alp 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27 ATTLAS 阅读(154) 评论(0) 推荐(0)
LTE引理
摘要：1、奇素数 \(p\) 满足 \(p\mid a-b,p\nmid a,p\nmid b\) ，则有 \(v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+n\) 证明：我们归纳证明。只需证下面两个引理： \(v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1,p\mid a-b,p\nmid a,p\nmi 阅读全文
posted @ 2024-07-12 20:49 ATTLAS 阅读(302) 评论(0) 推荐(0)
拉格朗日定理
摘要：UPD on 2025.8.4：修正了一些错误 多项式同余：对 \(f,g\in Z[x]\) 定义 \(f\equiv g\:(mod~n)\) 当且仅当 \(\exists h\in Z[x],f-g=nh\) 下面默认 \(f,g,h,k\in Z[x]\) （不过应用这些定理时一定要指出其满 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:46 ATTLAS 阅读(688) 评论(0) 推荐(0)
中国剩余定理(CRT)
摘要：对两两互素的 \(k\) 个正整数 \(m_1,m_2,...,m_k\) 与任意整数 \(c_1,c_2,...,c_k\) ，存在整数 \(x\) 满足： \( \begin{cases} &x\equiv c_1\:(mod~m_1)\\ &x\equiv c_2\:(mod~m_2)\\ & 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:22 ATTLAS 阅读(116) 评论(0) 推荐(0)
费马小定理
摘要：费马小定理 费马小定理：对素数 \(p\) 和任意不被 \(p\) 整除的数 \(a\) ， 有 \(a^{p-1}\equiv 1\: (mod ~p)\) 逆定理并不成立。这样的合数被称为 $ Carmichael$ 数，这样的数 \(n\) 满足无平方因子，且任意素因子 \(p\) 满足 \( 阅读全文
posted @ 2024-07-11 18:26 ATTLAS 阅读(281) 评论(0) 推荐(0)
威尔逊定理
摘要：威尔逊定理 当且仅当 \(p\) 为素数， \((p-1)! \equiv -1 \:(mod ~p)\) 除了拉格朗日定理，也可以将 \(a\) 与 \(a^{-1}\) 配对证明，其中 \(a=2,3,...,p-2\) 最后考虑 \(p-1\equiv -1 \:(mod ~p)\) 即可 有 阅读全文
posted @ 2024-06-23 18:03 ATTLAS 阅读(122) 评论(0) 推荐(0)
同余的基本概念，完系
摘要：概念与基本性质 若 \(m\mid a-b\) ，则记 \(a\equiv b\:(mod~m)\) ，代表 \(a\) 与 \(b\) 模 \(m\) 同余。同余是一种等量关系 基本性质： 1、\(a\equiv b \:(mod ~m) \iff b\equiv a\: (mod~m)\) 2、 阅读全文
posted @ 2024-06-23 15:31 ATTLAS 阅读(205) 评论(0) 推荐(0)