『欧拉函数与线性筛』

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<正文>

欧拉函数#

定义#

$\forall\ a,b\in N$ ，若 $gcd(a,b)=1$ ，则称 $a$ ， $b$ 互质。

对于一个正整数 $n$ ，我们将 $1-n$ 中与 $n$ 互质的数的个数称为欧拉函数，记为 $\phi(n)$ 。

求解#

若在算数基本定理中，有 $n=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}$ ，则可以得到：

$\phi(n)=n*\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$

证明：
设 $p$ 为 $n$ 的一个质因子，则 $1-n$ 中 $p$ 的倍数有 $p,2p,3p,...,\frac{n}{p}p$ ，即 $1-n$ 中不含有因子 $p$ 的数的个数为 $n-\frac{n}{p}$ 个。
设 $q$ 为 $n$ 的另一个质因子，由容斥原理可得 $1-n$ 中不含有因子 $p$ ， $q$ 的数的个数为 $n -\frac{n}{p}- \frac{n}{q}+ \frac{n}{pq}=n(\frac{p-1}{p})(\frac{q-1}{q})$ 个。
推广到 $n$ 的每一个质因子，可得 $1-n$ 中不与 $n$ 含有任何共同质因子的数的个数为 $n*\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$ 个，即 $\phi(n)=n*\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$ 。

利用如上公式，我们可以直接在分解质因数的过程中求得一个数的欧拉函数，时间复杂度为 $O(\sqrt n)$ 。

$Code:$

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inline long long phi(long long x)
{
    long long ans=x;
    for (long long i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if (x%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while (x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if (x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

性质#

$1.$ 对于质数 $p$ ，有 $\phi(p)=p-1$

证明：由定义可得。

$2.$ $\forall \ n>1$ ， $1-n$ 中与 $n$ 互质的数的和为 $\frac{n}{2}\phi (n)$

证明：
由于 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$ ，所以与 $n$ 不互质的数 $n-x,x$ 成对出现，且平均值为 $\frac{n}{2}$ ，因此与 $n$ 互质的数的平均值也为 $\frac{n}{2}$ ， $n$ 互质的数的和即为 $\frac{n}{2}\phi (n)$ 。

$3.$ 若 $gcd(a,b)=1$ ，则 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
$4.$ 欧拉函数是积性函数，即 $n=\prod p_i^{a_i}$ ， $\phi(n)=\prod \phi(p_i^{a_i})$
$5.$ 对于一个质数 $p$ ，若有 $p|n,p^2|n$ ，则 $\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*p$
$6.$ 对于一个质数 $p$ ，若有 $p|n,p^2\not | n$ ，则 $\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1)$

证明：
可以由欧拉函数的计算式直接推导得到。

$7.$ $\sum_{d|n}\phi(d)=n$

证明：
设函数，则，若互质，利用欧拉函数是积性函数可以得到： $f(nm)=\sum_{d|nm}\phi(d)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}\phi(d_1d_2)=\sum_{d|n}\phi(d)*\sum_{d|m}\phi(d)=f(n)f(m)$
即函数 $f$ 为积性函数。

对于一个质数 $p$ ，$$f(p^m)=\sum_{d|pm}\phi(d)=\sum^{{m}_{i=0}\phi(p}i)$$，由等差数列求和可得 $f(p^m)=p^m$ ，即可得到$$f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(p_i)=\prod_{i=1}^{m}p_i=n$$

这些性质在不同的题目中有不同的作用，需要我们注意灵活运用。特别是性质 $6.$ ，在 $dirichlet$ 卷积， $Möbius$ 反演中等内容中也会起到作用。

线性筛求解#

对于求解 $1-n$ 所有数的欧拉函数，如果直接使用分解质因数法，时间复杂度为 $O(n\sqrt n)$ 。

事实上，我们可以利用欧拉函数的性质 $1.\ 5.\ 6.$ ，再线性筛的求解过程中顺带地求解欧拉函数(线性筛见『素数 Prime判定和线性欧拉筛法 The sieve of Euler』)。

$Code:$

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inline void eular(void)
{
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!flag[i])Prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            flag[ i*Prime[j] ] = true;
            if (i%Prime[j]==0)
            {
                phi[ i*Prime[j] ] = phi[i] * Prime[j];
                break;
            }
            else phi[ i*Prime[j] ] = phi[i] * (Prime[j]-1);
        }
    }
}