随笔分类 - 数学
摘要：取模与异或 Description 求 $(n\ mod\ 1)\oplus (n\ mod\ 2)\oplus \cdots \oplus (n\ mod\ n)$。 $n\leq 10^{11}$。 Input Format 一行，一个正整数n。 Output Format 一行，一个正整数表示
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摘要：容斥原理 容斥原理指的是一种排重，补漏的计算思想，形式化的来说，我们有如下公式： $$\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{i}|S_i| \sum_{i,j}|S_i\cap S_j|+...+( 1)^{n 1}\left | \bigcap_{i=
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摘要：T1 Gift Description 人生赢家老王在网上认识了一个妹纸,然后妹纸的生日到了，为了表示自己的心 意，他决定送她礼物。可是她喜爱的东西特别多，然而他的钱数有限，因此他想 知道当他花一定钱数后剩余钱数无法再购买任何一件剩余物品(每种物品他最多 买一个)时有多少种方案，两种方案不同，当
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摘要：四边形不等式 定义：设$w(x,y)$是定义在整数集合上的的二元函数，若对于定义域上的任意整数$a,b,c,d$，在满足$a\leq b\leq c \leq d$时，都有$w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d)$成立，则称函数$w$满足四边形不等式。 定理1：四边形不等式的
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摘要：Broken Robot Description 你作为礼物收到一个非常聪明的机器人走在矩形板上。不幸的是，你明白它已经破碎并且行为相当奇怪（随机）。该板由N行和M列单元组成。机器人最初位于第i行和第j列的某个单元格中。然后在每一步，机器人都可以去另一个细胞。目的是走到最底层（N.排。机器人可以停留
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摘要：Lucas定理 在 "『组合数学基础』" 中，我们已经提出了$Lucas$定理，并给出了$Lucas$定理的证明，本文仅将简单回顾，并给出代码。 $Lucas$定理：当$p$为质数时，$C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} C_{n/p}^{m/p}(mod\
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摘要：概率 基础概念 定义 设样本空间为$\Omega$，若对于$\Omega$中的每一个随机事件$A$，都存在实值函数$P(A)$，满足： $1.$ $P(A)\geq0$ $2.$ $P(\Omega)=1$ $3.$ 对于若干个两两互斥事件$A_1,A_2,...,A_n$，有$\sum_{i=1}
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摘要：简单积性函数 在学习欧拉函数的时候，相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来，我们将相信介绍几种简单的积性函数，以备$dirichlet$卷积的运用。 定义 数论函数：在数论上，对于定义域为正整数，值域为复数的函数，我们称之为数论函数。 积性函数：对于数论函数$f$，若满足$gcd(a,b
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摘要：0/1分数规划 模型 0/1分数规划指的是这样一个问题模型： 给定整数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，求一组解$x_1,x_2,...,x_n(\forall\ i\in[1,n],x_i=1,0)$，使得下式最大化：$$\frac{\sum_{i=1}^na
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摘要：容斥原理 设$S_1,S_2,...,S_n$为$n$个有限集合，$|S|$代表集合$S$的大小，则有 $$\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{i=1}^n|S_i| \sum_{1\leq i \leq j \leq n}|S_i\cap S_j|+
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摘要：Zap Description FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x using namespace std; const int N=60020,Uplim=5e4; int a,b,k,vis[N],Prime[N],mui[N
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摘要：余数之和 Description 给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值 其中k mod i表示k除以i的余数。 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 +
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摘要：Möbius函数 定义 设正整数$n$算数基本定理分解后为$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}$，定义函数 $$ \mu(n)= \begin{cases} 0\ \ (\exists\ i\in[1,k],a_i 1) \\( 1)^k\ \ (\forall\ i\in[1,k
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摘要：基础知识 加法原理 若完成一件事情的方法有$n$类，其中第$i$类方法包括$a_i$种不同的方法，且这些方法互不重合，那么完成这件事共有$\sum a_i$中不同的方法。 乘法原理 若完成一件事情需要$n$个步骤，其中第$i$个步骤有$a_i$种不同的完成方法，且这些步骤互不干扰，那么完成这件事共有
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摘要：球形空间产生器(BZOJ 1013) Description 有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。 Input Format 第一行是一个整
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摘要：线性方程组 形如 $$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_1 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
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摘要：矩阵 定义 矩阵是一个按照长方形排列的元素集合。简单地说，矩阵可以理解为一个二维数组，其中每一个位置都存放了一个元素。 例如，以下是一个大小为$n m$的 矩阵。 $$ A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{
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摘要：乘法逆元 我们知道，由于同余的运算只定义在整数集中，而整数集不满足除法封闭，所以同余是不满足同除性的。但是，如果有涉及取模操作的计数类题目当中需要除法运算怎么办，这就需要乘法逆元了。 定义 若整数$b,m$互质，且$b|a$，则存在一个整数$x$，满足$\frac{a}{b}\equiv ax(mo
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摘要：扩展欧几里得算法 顾名思义，扩欧就是扩展欧几里得算法，那么我们先来简单地回顾一下这个经典数论算法。 对于形如$ax+by=c$的不定方程，扩展欧几里得算法可以在$O(log_2a+log_2b)$的时间内找到该方程的一组特解，或辅助$gcd$判断该方程无解。 对于扩欧的详细讲解，可见 "『扩展欧几里
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摘要：同余 同余是数论中一个重要的概念，若整数$a$与整数$b$除以正整数$m$的余数相等，则称$a$，$b$再模$m$意义下同余，记为$a\equiv b(mod\ m)$或$m|(a b)$。 同余基础性质 $1.$$a≡a (mod\ m)$，自反性 $2.$若$a≡b (mod\ m)$，则$b≡
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