随笔分类 - 数论
数论续篇
基础数论
摘要：取模与异或 Description 求 $(n\ mod\ 1)\oplus (n\ mod\ 2)\oplus \cdots \oplus (n\ mod\ n)$。 $n\leq 10^{11}$。 Input Format 一行，一个正整数n。 Output Format 一行，一个正整数表示
阅读全文
摘要：简单数论 质因子分解 素性测试 素性测试指的是对一个正整数是否为质数的判定，一般来说，素性测试有两种算法： $1.$ 试除法，直接尝试枚举因子，时间复杂度$O(\sqrt n)$。 $2.$ $Miller Rabin$算法，利用费马小定理和二次探测定理对素数进行测试，有小概率误判，时间复杂度$O(
阅读全文
摘要：Lucas定理 在 "『组合数学基础』" 中，我们已经提出了$Lucas$定理，并给出了$Lucas$定理的证明，本文仅将简单回顾，并给出代码。 $Lucas$定理：当$p$为质数时，$C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} C_{n/p}^{m/p}(mod\
阅读全文
摘要：简单积性函数 在学习欧拉函数的时候，相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来，我们将相信介绍几种简单的积性函数，以备$dirichlet$卷积的运用。 定义 数论函数：在数论上，对于定义域为正整数，值域为复数的函数，我们称之为数论函数。 积性函数：对于数论函数$f$，若满足$gcd(a,b
阅读全文
摘要：Zap Description FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x using namespace std; const int N=60020,Uplim=5e4; int a,b,k,vis[N],Prime[N],mui[N
阅读全文
摘要：余数之和 Description 给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值 其中k mod i表示k除以i的余数。 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 +
阅读全文
摘要：Möbius函数 定义 设正整数$n$算数基本定理分解后为$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}$，定义函数 $$ \mu(n)= \begin{cases} 0\ \ (\exists\ i\in[1,k],a_i 1) \\( 1)^k\ \ (\forall\ i\in[1,k
阅读全文
摘要：乘法逆元 我们知道，由于同余的运算只定义在整数集中，而整数集不满足除法封闭，所以同余是不满足同除性的。但是，如果有涉及取模操作的计数类题目当中需要除法运算怎么办，这就需要乘法逆元了。 定义 若整数$b,m$互质，且$b|a$，则存在一个整数$x$，满足$\frac{a}{b}\equiv ax(mo
阅读全文
摘要：扩展欧几里得算法 顾名思义，扩欧就是扩展欧几里得算法，那么我们先来简单地回顾一下这个经典数论算法。 对于形如$ax+by=c$的不定方程，扩展欧几里得算法可以在$O(log_2a+log_2b)$的时间内找到该方程的一组特解，或辅助$gcd$判断该方程无解。 对于扩欧的详细讲解，可见 "『扩展欧几里
阅读全文
摘要：同余 同余是数论中一个重要的概念，若整数$a$与整数$b$除以正整数$m$的余数相等，则称$a$，$b$再模$m$意义下同余，记为$a\equiv b(mod\ m)$或$m|(a b)$。 同余基础性质 $1.$$a≡a (mod\ m)$，自反性 $2.$若$a≡b (mod\ m)$，则$b≡
阅读全文
摘要：高次同余方程 一般来说，高次同余方程分$a^x \equiv b(mod\ p)$和$x^a \equiv b(mod\ p)$两种，其中后者的难度较大，本片博客仅将介绍第一类方程的解决方法。 给定$a,b,p$，其中$gcd(a,p)=1$，求方程$a^x \equiv b(mod\ p)$的最小
阅读全文
摘要：更新了$Ex CRT$的内容 线性同余方程 定义 给定整数$a,b,m$，对于形如$ax\equiv b(mod\ m)$的同余方程我们称之为一次同余方程，即线性同余方程。 解线性同余方程 对于此类方程，我们可以用如下方法快速的求解。 $$ ax\equiv b(mod\ m)⇔m|ax b $$
阅读全文
摘要：欧拉函数 定义 $\forall\ a,b\in N$，若$gcd(a,b)=1$，则称$a$，$b$互质。 对于一个正整数$n$，我们将$1 n$中与$n$互质的数的个数称为欧拉函数，记为$\phi(n)$。 求解 若在算数基本定理中，有$n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k
阅读全文
摘要：火车进出栈问题 Description 一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。 Input Format 一个数，n(n代码片段:将$!n$分解质因数 $Code:$ cpp //prime[i]存了1 n范围内的所
阅读全文
摘要：素数(Prime)及判定 定义 素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数，否则称为合数。 1既不是素数也不是合数。 判定 如何判定一个数是否是素数呢？显然，我们可以枚举这个数的因数，如果存在除了它本身和1以外的因数，那么这个数就是素数。 在枚举时，有一个很简
阅读全文
摘要：Euclid算法(gcd) 在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。 众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在$O(log_2b)$时间内求解$(a,b)$(a，b的最大公约数)。 其核心内容可以陈述为:$(a,b)=(b,a\%b)$，然后反复迭代该式缩小$a,b
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号