『约数之和 整除分块』

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<第一次更新>

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<正文>

余数之和

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值

其中k mod i表示k除以i的余数。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input Format

输入仅一行，包含两个整数n, k。

1<=n ,k<=10^9

Output Format

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

解析

注意到\(k\% i=k-\lfloor \frac{k}{i} \rfloor*i\)，故$$\sum_{i=1}^n k%i=nk-\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{k}{i} \rfloori$$

那么问题即求\(\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{k}{i} \rfloor*i\)。

引理：对于\(i\in \left [x, \left \lfloor \frac{k}{ \lfloor \frac{k}x{} \rfloor } \right \rfloor \right ]\)，\(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)的值都相等，其证明如下：

设\(f(x)= \left \lfloor \frac{k}{ \lfloor \frac{k}{x} \rfloor } \right \rfloor\)，显然有\(f(x)\geq \left \lfloor \frac{k}{ ( \frac{k}{x} ) } \right \rfloor=x\)，则可得\(\left \lfloor \frac{k}{f(x)} \right \rfloor\leq \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor\)。

从另一方面考虑，则有\(\left \lfloor \frac{k}{f(x)} \right \rfloor\geq\left \lfloor \frac{k}{ \frac{k}{\left \lfloor k/x \right \rfloor } } \right \rfloor=\lfloor \frac{k}{x} \rfloor\)，则可得\(\left \lfloor \frac{k}{f(x)} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor\)。

这样，每一次累加\(\left [x, \left \lfloor \frac{k}{ \lfloor \frac{k}x{} \rfloor } \right \rfloor \right ]\)所对应的值即可，可以证明这样的段不超过\(2\sqrt k\)个，我们称这种优化算法为整除分块。

\(Code:\)

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,k,ans;
inline void input(void)
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
}
inline void solve(void)
{
	ans=n*k;
	for (long long l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r = k/l ? min(k/(k/l),n) : n;
		ans -= (k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2; 
	}
}
int main(void)
{
	input();
	solve();
	printf("%lld\n",ans); 
	return 0;
}

---

<后记>