[atAGC053D]Everyone is a winner

下面将直接叙述本题的做法——

维护序列$\{T_{i}\}$，初始$T_{i}$为（强制所有人均按时间倒序做题时）第一个解决前$i$道题的时间

从后往前考虑每一个人，对第$i$个人按如下方式确定其解决题目的顺序：

1.显然前$i$道题和后$n-i$道题内均倒序做题，因此仅需要确定前$i$道题（的分布）即可

2.设前$i$道题中分别选择$x,y$和$z$道时间为1,2和3的题目，在$t=x+2y+3z\le T_{i}$的基础上，依次最大化$t$和$x$

记$S_{i,j}$为第$i$个人解决前$j$道题的时间，那么将$\forall 1\le j<i,T_{j}=\min (T_{j},S_{i,j})$

另外，无解的情况即在第2步中无法选出$i$道题使得$t\le T_{i}$

关于上述做法的正确性，并不太会证

关于实现，注意到$T_{i}$和$S_{j,i}$均可表示为斜率$\in \{1,2,3\}$的凸包（包括初始的$T_{i}$），进而即可维护

时间复杂度为$o(n)$，可以通过

（代码中为了方便，最大化$t$时暴力减小$t$并判定，注意到每次$t$递减，因此均摊是$o(n)$的）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define oo 0x3f3f3f3f
struct Line{
    int a,b,c;
    Line(int aa=oo,int bb=oo,int cc=oo){
        a=aa,b=bb,c=cc;
    }
    int get_val(int x){
        return min(min(a+x,b+2*x),c+3*x);
    }
}T;
int t,n,a[N],b[N],c[N];
Line merge(Line x,Line y){
    return Line(min(x.a,y.a),min(x.b,y.b),min(x.c,y.c));
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d",&n);
        T=Line();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
            T=merge(T,Line(b[i]+2*c[i],c[i],0));
        }
        bool flag=0;
        for(int i=n;i;i--){
            //y+z=i-x,2y+3z=t-x,
            //y=3i-t-2x,z=t+x-2i
            //0<=x<=a[i],0<=y<=b[i],0<=z<=c[i]
            //(3i-t-b[i]+1)/2<=x<=(3i-t)/2
            //2i-t<=x<=c[i]+2i-t
            int t=T.get_val(i),x;
            while (t>=0){
                x=min(min(a[i],(3*i-t)/2),c[i]+2*i-t);
                if (x>=max(max(0,(3*i-t-b[i]+1)/2),2*i-t))break; 
                t--;
            }
            if (t<0){
                flag=1;
                break;
            }
            int y=3*i-t-2*x,z=t+x-2*i;
            T=merge(T,Line(y+2*z,z,0));
        }
        if (flag)printf("No\n");
        else printf("Yes\n");
    }
    return 0;
}