[cf1379F]Chess Strikes Back
考虑将$(2i-1,2j-1)$和$(2i,2j)$缩为一个点，记作$(i,j)$
对于每一个点，只能选$(2i-1,2j-1)$或$(2i,2j)$（显然不能都选），而这样恰好为$nm$个，因此必须要至少选择一个
对于每一个点，障碍的状态分为以下几类：
1.无障碍，这类点暂时不考虑
2.都有障碍，若存在此类点必然不合法
3.有一个障碍，分两类讨论：
(1)$(2i-1,2j-1)$上有障碍，即这个点只能选$(2i,2j)$，考虑$(i+1,j)$和$(i,j+1)$，也只能选这个点，因此即对于其右下角的点，都要选$(2i,2j)$；
(2)$(2i,2j)$上有障碍，类似的，对于其左上角的点，都要选$(2i-1,2j-1)$
矛盾在于存在一个点$(i_{1},j_{1})$在$(2i_{1}-1,2j_{1}-1)$上有障碍，$(i_{2},j_{2})$在$(2i_{2},2j_{2})$上有障碍，且满足$i_{1}\le i_{2}$、$j_{1}\le j_{2}$，那么对于$([i_{1},i_{2}],[j_{1},j_{2}])$这个矩形就无解了
（其实第2类也可以看作此类情况，即$i_{1}=i_{2}$且$j_{1}=j_{2}$）
通过set，可以求出对于所有$i$，在$(2i-1,2j-1)$上有障碍的最小的$j$和在$(2i,2j)$上有障碍的最大的$j$
对于插入可以很好的支持，即判断新来的点是否会产生即可（通过线段树维护第一个前缀最小值以及第二个后缀最大值），那么删除通过线段树分治即可
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 200005 4 #define L (k<<1) 5 #define R (L+1) 6 #define mid (l+r>>1) 7 #define pii pair<int,int> 8 #define mp make_pair 9 #define fi first 10 #define se second 11 map<int,int>mat[N<<1]; 12 map<int,int>::iterator it; 13 multiset<int>s1[N],s2[N]; 14 vector<pii>v[N<<2]; 15 pii f[N<<2]; 16 int n,m,q,x,y,ans[N]; 17 void add(int k,int l,int r,int x,int y,pii z){ 18 if ((l>y)||(x>r))return; 19 if ((x<=l)&&(r<=y)){ 20 v[k].push_back(z); 21 return; 22 } 23 add(L,l,mid,x,y,z); 24 add(R,mid+1,r,x,y,z); 25 } 26 pii merge(pii x,pii y){ 27 return mp(min(x.fi,y.fi),max(x.se,y.se)); 28 } 29 pii get(int k){ 30 int x=m+1,y=0; 31 if (s1[k].size())x=(*s1[k].begin()); 32 if (s2[k].size())y=(*--s2[k].end()); 33 return mp(x,y); 34 } 35 void update(int k,int l,int r,int x){ 36 if (l==r){ 37 f[k]=get(x); 38 return; 39 } 40 if (x<=mid)update(L,l,mid,x); 41 else update(R,mid+1,r,x); 42 f[k]=merge(f[L],f[R]); 43 } 44 pii query(int k,int l,int r,int x,int y){ 45 if ((l>y)||(x>r))return mp(m+1,0); 46 if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k]; 47 return merge(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y)); 48 } 49 void dfs(int k,int l,int r){ 50 if (!ans[0])return; 51 for(int i=0;i<v[k].size();i++){ 52 x=v[k][i].fi,y=v[k][i].se; 53 if (y&1){ 54 s1[(x+1)/2].insert((y+1)/2); 55 if (query(1,1,n,(x+1)/2,n).se>=(*s1[(x+1)/2].begin()))ans[0]=0; 56 } 57 else{ 58 s2[x/2].insert(y/2); 59 if (query(1,1,n,1,x/2).fi<=(*--s2[x/2].end()))ans[0]=0; 60 } 61 update(1,1,n,(x+1)/2); 62 } 63 if (l==r)ans[l]=ans[0]; 64 else{ 65 dfs(L,l,mid); 66 dfs(R,mid+1,r); 67 } 68 for(int i=0;i<v[k].size();i++){ 69 x=v[k][i].fi,y=v[k][i].se; 70 if (y&1)s1[(x+1)/2].erase(s1[(x+1)/2].find((y+1)/2)); 71 else s2[x/2].erase(s2[x/2].find(y/2)); 72 update(1,1,n,(x+1)/2); 73 } 74 ans[0]=1; 75 } 76 int main(){ 77 scanf("%d%d%d",&n,&m,&q); 78 for(int i=1;i<=q;i++){ 79 scanf("%d%d",&x,&y); 80 if (!mat[x][y])mat[x][y]=i; 81 else{ 82 add(1,1,q,mat[x][y],i-1,mp(x,y)); 83 mat[x][y]=0; 84 } 85 } 86 for(int i=1;i<=2*n;i++) 87 for(it=mat[i].begin();it!=mat[i].end();it++) 88 if ((*it).se)add(1,1,q,(*it).se,q,mp(i,(*it).fi)); 89 for(int i=1;i<=n;i++)update(1,1,n,i); 90 ans[0]=1; 91 dfs(1,1,q); 92 for(int i=1;i<=q;i++) 93 if (ans[i])printf("YES\n"); 94 else printf("NO\n"); 95 }
