题解：P13939 [EC Final 2019] Black and White

将路径视作长度为 \(n+m\) 的 \(\texttt{UR}\) 序列。若将一对相邻的 \(\texttt{UR}\) 交换成 \(\texttt{RU}\)，则变化恰好是：由这两步包裹住的格子从路径的右侧变到了左侧。

设这两步分别为第 \(t,t+1\) 步，则路径权值的变化量为 \((-1)^{t-1}\)，注意到这和 \(\texttt{UR}\) 序列偶数位置上 \(\texttt{U}\) 的数量的变化量相同，因此这两个量必然有固定的差值。取一条前 \(n\) 步向上走，后 \(m\) 步向右走的路径，路径权值为 \(0\)，偶数位置上 \(\texttt{U}\) 的数量为 \(\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor\)，于是差值恰好为 \(\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor\)。

问题转化为：求有多少由 \(n\) 个 \(\texttt{U}\) 和 \(m\) 个 \(\texttt{R}\) 组成的 \(\texttt{UR}\) 序列，满足偶数位置上 \(\texttt{U}\) 的数量为 \(k'=k+\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor\)。显然答案为

\[\binom{\left\lfloor(n+m)/2\right\rfloor}{k'}\binom{\left\lceil(n+m)/2\right\rceil}{n-k'} \]

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\max(n,m)+T)\)。