题解：P12485 [集训队互测 2024] PM 大师

写这个题跟用户名没啥关系。

设 \(a_i=0\) 的位置为 \(c_1,\cdots,c_m\)，\(pre_i\) 为 \(a_{1\sim i}\) 中 \(0\) 的个数。可以发现 \(b_{c_i}\) 是严格单调递增的，设其中的数值构成的集合为 \(S\)。

从值域考虑，不难发现对于非 \(0\) 的 \(a_i=v\)，我们只关心其第一次出现的位置 \(p_v\)，设 \(d_v=pre_{p_v}\)（若没有出现 \(v\) 则 \(d_v=m\)）。按值域从小到大枚举 \(v=1\sim n\)，设 \(s_v\) 为 \(1\sim v-1\) 中 \(\notin S\) 的数的个数，则

\[v\notin S\Leftrightarrow v-d_v-s_v>0 \]

查询 \(a_y\) 时，若 \(a_y=0\)，则相当于查询第 \(pre_y\) 小的 \(S\) 中的数。在值域上开一棵线段树，区间内维护 \(v-d_v-s_v\leq 0\) 的数的个数，线段树二分即可得到结果。

考虑如何处理修改。每次将 \(a_x\) 修改为 \(a_x'\) 后，\(d_{a_x}\) 和 \(d_{a_x'}\) 都可能变化。这相当于做两次对 \(v-d_v-s_v\) 的单点修改。考察某次单点修改带来的变化，若原先 \(v-d_v-s_v>0\)，修改后 \(v-d_v-s_v\leq 0\)，则 \(v\) 插入 \(S\) 中，\(v+1\sim n\) 中的值的 \(s_v\) 都会减 \(1\)。注意到，这可能导致 \(v+1\sim n\) 中的某些值的 \(v-d_v-s_v\) 从 \(\leq 0\) 变成 \(>0\)，此时我们取最小的这样的数 \(v_{\min}\)，则 \(v_{\min}\) 将从 \(S\) 中删除，删除后更大的值就恢复正常了。另一种情况也是对称的。

同样用线段树维护，区间内维护 \(\in S\) 的值的最大值及其位置，和 \(\notin S\) 的值的最小值及其位置，还有加法标记即可。\(p_v\) 可以用 set 或者懒删除的堆维护。时间复杂度为 \(\mathcal{O}((n+q)\log{n})\)。

主要代码

int n, q, a[MAXN], pre[MAXN], val[MAXN];
bool vis[MAXN];
priority_queue<int, vector<int>, greater<>> Q[MAXN];

struct SegTree {
#define ls(p) (p << 1)
#define rs(p) (p << 1 | 1)
	struct Node {
		int mn, mnp, mx, mxp, cnt;
		Node &operator+=(const Node &rhs) {
			if (rhs.mn < mn) {
				mn = rhs.mn;
				mnp = rhs.mnp;
			}
			if (rhs.mx > mx) {
				mx = rhs.mx;
				mxp = rhs.mxp;
			}
			cnt += rhs.cnt;
			return *this;
		}
		friend Node operator+(Node lhs, const Node &rhs) {
			return lhs += rhs;
		}
	} nd[MAXN << 2];
	int tg[MAXN << 2];

	void build(int p, int l, int r) {
		if (l == r) {
			nd[p] = {inf, 0, -inf, 0, 0};
			if (val[l] > 0) {
				vis[l] = false;
				nd[p].mn = val[l];
				nd[p].mnp = l;
			} else {
				vis[l] = true;
				nd[p].mx = val[l];
				nd[p].mxp = l;
				nd[p].cnt = 1;
			}
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls(p), l, mid);
		build(rs(p), mid + 1, r);
		pushUp(p);
	}
	void pushUp(int p) {
		nd[p] = nd[ls(p)] + nd[rs(p)];
	}
	void applyAdd(int p, int v) {
		tg[p] += v;
		if (nd[p].mn != inf) nd[p].mn += v;
		if (nd[p].mx != -inf) nd[p].mx += v;
	}
	void pushDown(int p) {
		if (!tg[p]) return;
		applyAdd(ls(p), tg[p]);
		applyAdd(rs(p), tg[p]);
		tg[p] = 0;
	}
	int query(int p, int l, int r, int x) {
		if (l == r) return vis[l] ? nd[p].mx : nd[p].mn;
		pushDown(p);
		int mid = l + r >> 1;
		return x <= mid ? query(ls(p), l, mid, x) : query(rs(p), mid + 1, r, x);
	}
	void upd(int p, int l, int r, int x) {
		if (l == r) {
			if (nd[p].mn <= 0) {
				nd[p].mx = nd[p].mn;
				nd[p].mn = inf;
				swap(nd[p].mnp, nd[p].mxp);
			} else if (nd[p].mx > 0) {
				nd[p].mn = nd[p].mx;
				nd[p].mx = -inf;
				swap(nd[p].mnp, nd[p].mxp);
			}
			nd[p].cnt = vis[l];
			return;
		}
		pushDown(p);
		int mid = l + r >> 1;
		if (x <= mid) upd(ls(p), l, mid, x);
		else upd(rs(p), mid + 1, r, x);
		pushUp(p);
	}
	void add(int p, int l, int r, int x, int y, int v) {
		if (x <= l && y >= r) {
			applyAdd(p, v);
			return;
		}
		pushDown(p);
		int mid = l + r >> 1;
		if (x <= mid) add(ls(p), l, mid, x, y, v);
		if (y > mid) add(rs(p), mid + 1, r, x, y, v);
		pushUp(p);
	}
	int find(int p, int l, int r, int k) {
		if (l == r) return l;
		pushDown(p);
		int mid = l + r >> 1;
		return k <= nd[ls(p)].cnt ? find(ls(p), l, mid, k) : find(rs(p), mid + 1, r, k - nd[ls(p)].cnt);
	}
#undef ls
#undef rs
} sgt;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin >> n >> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
		pre[i] = pre[i - 1] + (a[i] == 0);
	}
	int m = pre[n];
	for (int v = 1, cnt = 0; v <= n; ++v) {
		val[v] = v - m - cnt;
		if (val[v] > 0) ++cnt;
	}
	sgt.build(1, 1, n);
	while (q--) {
		int x, k, y;
		cin >> x >> k >> y;

		auto getD = [&](int v) {
			if (v <= 0) return -1;
			while (!Q[v].empty() && a[Q[v].top()] != v) Q[v].pop();
			return Q[v].empty() ? m : pre[Q[v].top()];
		};
		auto upd = [&](int v, int dt) {
			int prvVal = sgt.query(1, 1, n, v), nxtVal = prvVal + dt;
			sgt.add(1, 1, n, v, v, dt);
			if (prvVal > 0 && nxtVal <= 0) {
				vis[v] = true;
				sgt.upd(1, 1, n, v);
				if (v < n) {
					sgt.add(1, 1, n, v + 1, n, 1);
					if (sgt.nd[1].mx > 0) {
						int p = sgt.nd[1].mxp;
						vis[p] = false;
						sgt.upd(1, 1, n, p);
						if (p < n) sgt.add(1, 1, n, p + 1, n, -1);
					}
				}
			} else if (prvVal <= 0 && nxtVal > 0) {
				vis[v] = false;
				sgt.upd(1, 1, n, v);
				if (v < n) {
					sgt.add(1, 1, n, v + 1, n, -1);
					if (sgt.nd[1].mn <= 0) {
						int p = sgt.nd[1].mnp;
						vis[p] = true;
						sgt.upd(1, 1, n, p);
						if (p < n) sgt.add(1, 1, n, p + 1, n, 1);
					}
				}
			}
		};

		int tmp = a[x], prv1 = getD(tmp), prv2 = getD(k);
		a[x] = k;
		if (k > 0) Q[k].emplace(x);
		int nxt1 = getD(tmp), nxt2 = getD(k);
		if (tmp > 0) upd(tmp, prv1 - nxt1);
		if (k > 0) upd(k, prv2 - nxt2);
		cout << (a[y] ? a[y] : sgt.find(1, 1, n, pre[y])) << '\n';
	}
	return 0;
}