对集合幂级数 ln 的容斥系数的一些理解

考虑 \(\ln\) 的泰勒展开，可以得到

\[\ln(F(x))=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}(F(x)-1)^k}{k} \]

考虑其组合意义，相当于给每一个大小为 \(k\) 的无序非空拆分赋以 \((-1)^{k-1}(k-1)!\) 的容斥系数。

如何从组合角度理解这个容斥系数？

令 \(g_{S,k}\) 为钦定把 \(S\) 划分成 \(k\) 个互不区分的非空等价类的方案数，则

\[g_{S,k}=[x^S]\frac{(F(x)-1)^k}{k!} \]

令 \(f_{S,k}\) 为恰好把 \(S\) 划分成 \(k\) 个互不区分的非空等价类的方案数，则

\[g_{S,k}=\sum_{i=k}^{+\infty}{i\brace k}f_{S,i} \]

套用斯特林反演：

\[f_{S,k}=\sum_{i=k}^{+\infty}(-1)^{k-i}{i\brack k}g_{S,i} \]

因此

\[[x^S]\ln(F(x))=f_{S,1}=\sum_{i=1}^{+\infty}(-1)^{i-1}(i-1)!g_{S,i} \]

这就和我们泰勒展开推出来的系数一致了。